Esercizi svolti · Scheda 8

Problemi con potenze e radici

Teoria usata: Radice quadrata Radice cubica Esponente negativo Notazione scientifica Quadrati perfetti Radice cubica di un numero negativo e cubi perfetti

Vai a: Esercizio 1 Esercizio 2 Esercizio 3 Esercizio 4

Esercizio 1

Un orto quadrato ha un’area di $20{,}25$ m². Calcola la lunghezza del lato e quanti metri di rete servono per recintarlo.

\ell = \sqrt{20{,}25} = \sqrt{\frac{2025}{100}} = \frac{\sqrt{2025}}{\sqrt{100}}

2025 = 3^4 \cdot 5^2 \quad \Longrightarrow \quad \sqrt{2025} = 3^2 \cdot 5 = 45

\ell = \frac{45}{10} = 4{,}5 \text{ m}

2p = 4 \cdot 4{,}5 = 18 \text{ m}

L'orto quadrato di area

20, 25

m² ha lato

20, 25 = 4, 5

m e perimetro

4 \cdot 4, 5 = 18

L’area di un quadrato è il quadrato del lato, quindi il lato $\ell$ è il numero positivo che elevato al quadrato dà $20{,}25$ , cioè la radice quadrata di $20{,}25$ . Il numero decimale si scrive come frazione, $20{,}25 = \dfrac{2025}{100}$ , e per la radice di un quoziente si calcolano separatamente la radice del numeratore e quella del denominatore.

Il numero $2025$ termina con $25$ , quindi è divisibile per $25 = 5^2$ , e il quoziente è $81 = 3^4$ . Nella scomposizione $2025 = 3^4 \cdot 5^2$ gli esponenti sono pari, perciò dimezzandoli si ha $\sqrt{2025} = 3^2 \cdot 5 = 45$ . Poiché $\sqrt{100} = 10$ , il lato misura $\dfrac{45}{10} = 4{,}5$ m.

La rete corre lungo i quattro lati, quindi la sua lunghezza è il perimetro $2p = 4 \cdot 4{,}5 = 18$ m. Servono perciò 18 metri di rete.

Esercizio 2

In un laboratorio una coltura contiene $500$ batteri, e il loro numero raddoppia ogni ora. Il numero di batteri dopo $n$ ore è $500 \cdot 2^n$ . Calcola quanti batteri ci sono dopo $6$ ore e quanti ce n’erano $2$ ore prima dell’inizio, supponendo che anche prima il numero raddoppiasse ogni ora.

500 \cdot 2^6 = 500 \cdot 64 = 32\,000

500 \cdot 2^{-2} = 500 \cdot \frac{1}{4} = 125

Ogni ora il numero di batteri si moltiplica per $2$ , quindi dopo $6$ ore si è moltiplicato per $2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 2^6 = 64$ . Il numero di batteri dopo $6$ ore è perciò $500 \cdot 64 = 32\,000$ .

Due ore prima dell’inizio corrispondono a $n = -2$ . Per la definizione di esponente negativo si ha $2^{-2} = \dfrac{1}{4}$ , quindi il numero di batteri era $500 \cdot \dfrac{1}{4} = 125$ . Il risultato è coerente con il raddoppio, perché da $125$ si passa a $250$ dopo un’ora e a $500$ dopo due ore. Due ore prima dell’inizio i batteri erano quindi 125.

Esercizio 3

Una scatola a forma di cubo ha un volume di $3375$ cm³. Calcola la lunghezza dello spigolo e l’area della carta necessaria per rivestire tutte le facce.

3375 = 3^3 \cdot 5^3

\ell = \sqrt[3]{3375} = 3 \cdot 5 = 15 \text{ cm}

A = 6 \cdot \ell^2 = 6 \cdot 15^2 = 6 \cdot 225 = 1350 \text{ cm}^2

Il volume di un cubo è il cubo dello spigolo, quindi lo spigolo è la radice cubica del volume. Il numero $3375$ termina con $5$ , perciò è divisibile per $5$ ; dividendo tre volte per $5$ si ottengono $675$ , $135$ e $27$ . Poiché $27 = 3^3$ , si ha $3375 = 5^3 \cdot 3^3$ .

Gli esponenti sono multipli di $3$ , quindi la radice cubica si ottiene dividendoli per $3$ , e lo spigolo misura $3 \cdot 5 = 15$ cm. Il cubo ha $6$ facce quadrate di lato $15$ cm, ciascuna con area $15^2 = 225$ cm². La carta necessaria ha perciò un’area di $6 \cdot 225 = 1350$ cm².

Esercizio 4

La luce percorre circa $3 \cdot 10^5$ km in un secondo, e la distanza media tra la Terra e il Sole è circa $1{,}5 \cdot 10^8$ km. Calcola quanti secondi impiega la luce del Sole per arrivare sulla Terra, ed esprimi il risultato in minuti e secondi.

t = \frac{1{,}5 \cdot 10^8}{3 \cdot 10^5}

\begin{aligned} t &= \frac{1{,}5}{3} \cdot 10^{8-5} \\[6pt] &= 0{,}5 \cdot 10^3 \\[6pt] &= 500 \text{ s} \end{aligned}

500 = 8 \cdot 60 + 20 \quad \Longrightarrow \quad t = 8 \text{ min } 20 \text{ s}

La luce percorre $3 \cdot 10^5$ km ogni secondo, quindi il numero di secondi necessari è il quoziente tra la distanza e lo spazio percorso in un secondo. Il quoziente dei numeri è $\dfrac{1{,}5}{3} = 0{,}5$ , e per il quoziente di potenze con la stessa base si ha $\dfrac{10^8}{10^5} = 10^{3}$ .

Il prodotto $0{,}5 \cdot 10^3$ si calcola spostando la virgola di tre posti verso destra, e dà $500$ secondi. In un minuto ci sono $60$ secondi, e la divisione di $500$ per $60$ ha quoziente $8$ e resto $20$ , perché $8 \cdot 60 = 480$ e $500 - 480 = 20$ . La luce del Sole impiega perciò circa 8 minuti e 20 secondi.