Esercizi svolti · Scheda 6

Semplificazioni e somme di radicali

Teoria usata: Portare un fattore fuori dal segno di radice Radicali simili Radice di un prodotto e di un quoziente Quadrati perfetti

Vai a: Esercizio 1 Esercizio 2 Esercizio 3 Esercizio 4

Esercizio 1

Semplifica $\sqrt{48}$ e $\sqrt{200}$ portando fuori dal segno di radice i fattori possibili.

\sqrt{48} = \sqrt{16 \cdot 3} = \sqrt{16} \cdot \sqrt{3} = 4\sqrt{3}

\sqrt{200} = \sqrt{100 \cdot 2} = \sqrt{100} \cdot \sqrt{2} = 10\sqrt{2}

Per portare fuori un fattore si scrive il radicando come prodotto del più grande quadrato perfetto che lo divide per un altro numero. Poiché $48 = 2^4 \cdot 3$ , il più grande quadrato perfetto che divide $48$ è $2^4 = 16$ , e $48 = 16 \cdot 3$ . Per la radice di un prodotto si ha $\sqrt{16 \cdot 3} = \sqrt{16} \cdot \sqrt{3}$ , e poiché $\sqrt{16} = 4$ il risultato è $4\sqrt{3}$ .

Allo stesso modo $200 = 2^3 \cdot 5^2$ , e il più grande quadrato perfetto che divide $200$ è $2^2 \cdot 5^2 = 100$ . Poiché $\sqrt{100} = 10$ , si ha $\sqrt{200} = 10\sqrt{2}$ .

Esercizio 2

Calcola $\sqrt{8} + \sqrt{50} - \sqrt{18}$ .

\begin{aligned} \sqrt{8} + \sqrt{50} - \sqrt{18} &= \sqrt{4 \cdot 2} + \sqrt{25 \cdot 2} - \sqrt{9 \cdot 2} \\[6pt] &= 2\sqrt{2} + 5\sqrt{2} - 3\sqrt{2} \\[6pt] &= (2 + 5 - 3)\sqrt{2} \\[6pt] &= 4\sqrt{2} \end{aligned}

I tre radicandi sono diversi, quindi i radicali non si possono sommare subito. Ciascun radicando è il prodotto di un quadrato perfetto per $2$ , perché $8 = 4 \cdot 2$ , $50 = 25 \cdot 2$ e $18 = 9 \cdot 2$ . Portando fuori le radici di $4$ , $25$ e $9$ , cioè $2$ , $5$ e $3$ , si ottengono tre radicali con radicando $2$ .

I tre radicali sono simili, quindi per la proprietà distributiva si sommano i numeri che li moltiplicano. Poiché $2 + 5 - 3 = 4$ , il risultato è $4\sqrt{2}$ .

Esercizio 3

Calcola $\sqrt{6} \cdot \sqrt{3} + \sqrt{98}$ .

\begin{aligned} \sqrt{6} \cdot \sqrt{3} + \sqrt{98} &= \sqrt{6 \cdot 3} + \sqrt{98} \\[6pt] &= \sqrt{18} + \sqrt{98} \\[6pt] &= \sqrt{9 \cdot 2} + \sqrt{49 \cdot 2} \\[6pt] &= 3\sqrt{2} + 7\sqrt{2} \\[6pt] &= 10\sqrt{2} \end{aligned}

Nell’ordine delle operazioni la moltiplicazione precede l’addizione. Per la regola della radice di un prodotto, letta da destra a sinistra, si ha $\sqrt{6} \cdot \sqrt{3} = \sqrt{18}$ .

Si portano poi fuori i fattori. Poiché $18 = 9 \cdot 2$ e $\sqrt{9} = 3$ , si ha $\sqrt{18} = 3\sqrt{2}$ ; poiché $98 = 49 \cdot 2$ e $\sqrt{49} = 7$ , si ha $\sqrt{98} = 7\sqrt{2}$ . I due radicali sono simili, quindi la somma è $(3 + 7)\sqrt{2} = 10\sqrt{2}$ .

Esercizio 4

Calcola

\sqrt{75} - 2\sqrt{27} + \frac{\sqrt{60}}{\sqrt{5}} .

\begin{aligned} \sqrt{75} - 2\sqrt{27} + \frac{\sqrt{60}}{\sqrt{5}} &= \sqrt{25 \cdot 3} - 2\sqrt{9 \cdot 3} + \sqrt{\frac{60}{5}} \\[6pt] &= 5\sqrt{3} - 2 \cdot 3\sqrt{3} + \sqrt{12} \\[6pt] &= 5\sqrt{3} - 6\sqrt{3} + \sqrt{4 \cdot 3} \\[6pt] &= 5\sqrt{3} - 6\sqrt{3} + 2\sqrt{3} \\[6pt] &= (5 - 6 + 2)\sqrt{3} \\[6pt] &= \sqrt{3} \end{aligned}

Il primo radicando è $75 = 25 \cdot 3$ , quindi $\sqrt{75} = 5\sqrt{3}$ . Il secondo è $27 = 9 \cdot 3$ , quindi $\sqrt{27} = 3\sqrt{3}$ , e il termine $2\sqrt{27}$ diventa $2 \cdot 3\sqrt{3} = 6\sqrt{3}$ .

Per la regola della radice di un quoziente, letta da destra a sinistra, si ha $\dfrac{\sqrt{60}}{\sqrt{5}} = \sqrt{\dfrac{60}{5}} = \sqrt{12}$ . Poiché $12 = 4 \cdot 3$ , si ottiene $\sqrt{12} = 2\sqrt{3}$ .

I tre radicali hanno radicando $3$ e sono quindi simili. La somma dei numeri che li moltiplicano è $5 - 6 + 2 = 1$ , perciò il risultato è $1 \cdot \sqrt{3} = \sqrt{3}$ .