Esercizi svolti · Scheda 1

Prodotti e quozienti di potenze con la stessa base

Teoria usata: Potenza Prodotto di potenze con la stessa base Quoziente di potenze con la stessa base Potenza di una potenza

Vai a: Esercizio 1 Esercizio 2 Esercizio 3

Esercizio 1

Calcola

\frac{5^4 \cdot 5^3}{5^5} .

\begin{aligned} \frac{5^4 \cdot 5^3}{5^5} &= \frac{5^{4+3}}{5^5} \\[6pt] &= \frac{5^7}{5^5} \\[6pt] &= 5^{7-5} \\[6pt] &= 5^2 = 25 \end{aligned}

Al numeratore le potenze $5^4$ e $5^3$ hanno la stessa base. Per la regola del prodotto di potenze con la stessa base si sommano gli esponenti, e poiché $4 + 3 = 7$ il numeratore è $5^7$ .

Il quoziente $\dfrac{5^7}{5^5}$ ha ancora la stessa base, quindi per la regola del quoziente di potenze con la stessa base si sottraggono gli esponenti. Poiché $7 - 5 = 2$ , il risultato è $5^2 = 5 \cdot 5 = 25$ .

Esercizio 2

Calcola

\frac{\left( 2^3 \right)^4}{2^5 \cdot 2^4} .

\begin{aligned} \frac{\left( 2^3 \right)^4}{2^5 \cdot 2^4} &= \frac{2^{3 \cdot 4}}{2^{5+4}} \\[6pt] &= \frac{2^{12}}{2^9} \\[6pt] &= 2^{12-9} \\[6pt] &= 2^3 = 8 \end{aligned}

Il numeratore è una potenza elevata a un’altra potenza. Per la regola della potenza di una potenza gli esponenti si moltiplicano, e poiché $3 \cdot 4 = 12$ il numeratore è $2^{12}$ .

Al denominatore le due potenze hanno la stessa base, quindi gli esponenti si sommano, e poiché $5 + 4 = 9$ il denominatore è $2^9$ . Nel quoziente si sottraggono gli esponenti, $12 - 9 = 3$ , perciò il risultato è $2^3 = 2 \cdot 2 \cdot 2 = 8$ .

Esercizio 3

Calcola

\frac{\left( 3^2 \right)^4 \cdot 3^5}{\left( 3^3 \right)^3 \cdot 3^2} .

\begin{aligned} \frac{\left( 3^2 \right)^4 \cdot 3^5}{\left( 3^3 \right)^3 \cdot 3^2} &= \frac{3^8 \cdot 3^5}{3^9 \cdot 3^2} \\[6pt] &= \frac{3^{8+5}}{3^{9+2}} \\[6pt] &= \frac{3^{13}}{3^{11}} \\[6pt] &= 3^{13-11} \\[6pt] &= 3^2 = 9 \end{aligned}

Per prima cosa si applica la regola della potenza di una potenza ai due fattori che la richiedono. Poiché $2 \cdot 4 = 8$ , si ha $\left( 3^2 \right)^4 = 3^8$ ; poiché $3 \cdot 3 = 9$ , si ha $\left( 3^3 \right)^3 = 3^9$ .

Al numeratore e al denominatore restano prodotti di potenze con base $3$ , quindi gli esponenti si sommano. Al numeratore $8 + 5 = 13$ e al denominatore $9 + 2 = 11$ .

Nel quoziente $\dfrac{3^{13}}{3^{11}}$ si sottraggono gli esponenti, e poiché $13 - 11 = 2$ il risultato è $3^2 = 9$ .