Esercizi svolti · Scheda 8

Problemi con rette e sistemi

Teoria usata: Equazione della retta in forma esplicita Sistema di due equazioni in due incognite Metodo di sostituzione Metodo di riduzione Distanza tra due punti

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Esercizio 1

Un taxi chiede $4$ euro alla partenza e $2{,}50$ euro per ogni chilometro percorso. Scrivi la funzione che dà il costo $y$ di una corsa di $x$ chilometri. Calcola il costo di una corsa di $3$ km e quanti chilometri si percorrono con $19$ euro.

y = 2{,}5\,x + 4 = \frac{5}{2}x + 4

x = 3: \quad y = \frac{5}{2} \cdot 3 + 4 = \frac{15}{2} + 4 = 7{,}5 + 4 = 11{,}5

\begin{aligned} \frac{5}{2}x + 4 &= 19 \\[6pt] \frac{5}{2}x &= 15 \\[6pt] x &= 15 \cdot \frac{2}{5} = 6 \end{aligned}

y = \dfrac{5}{2}x + 4

Il costo della corsa in funzione dei chilometri è una retta con ordinata all'origine

4

e coefficiente angolare

\frac{5}{2}

;

3

km costano

11, 50

euro e con

19

euro si percorrono

6

Il costo è formato da una parte fissa di $4$ euro e da una parte che cresce di $2{,}50$ euro per ogni chilometro, cioè $2{,}5 \cdot x$ euro per $x$ chilometri. Sommando le due parti si ottiene $y = 2{,}5\,x + 4$ , che è una retta con coefficiente angolare $2{,}5 = \dfrac{5}{2}$ e ordinata all’origine $4$ . L’ordinata all’origine è il costo della sola partenza, e il coefficiente angolare è il costo di ogni chilometro.

Per $x = 3$ si ha $\dfrac{5}{2} \cdot 3 = \dfrac{15}{2} = 7{,}5$ , e aggiungendo $4$ si ottiene un costo di $11{,}50$ euro. Per la seconda domanda si conosce il costo, $19$ euro, e si cerca $x$ . Sottraendo $4$ si ottiene $\dfrac{5}{2}x = 15$ , e moltiplicando per il reciproco $\dfrac{2}{5}$ si trova $x = \dfrac{30}{5} = 6$ . Con $19$ euro si percorrono quindi $6$ km.

Esercizio 2

Una palestra offre due abbonamenti. Con il primo si pagano $40$ euro di iscrizione e $20$ euro al mese; con il secondo si pagano $20$ euro di iscrizione e $30$ euro al mese. Dopo quanti mesi la spesa totale è la stessa? Quale abbonamento costa meno per un solo mese?

\begin{cases} y = 20x + 40 \\ y = 30x + 20 \end{cases}

\begin{aligned} 30x + 20 &= 20x + 40 \\[6pt] 10x &= 20 \\[6pt] x &= 2 \end{aligned}

y = 20 \cdot 2 + 40 = 80

x = 1: \quad 20 \cdot 1 + 40 = 60, \qquad 30 \cdot 1 + 20 = 50

y = 20x + 40

y = 30x + 20

Le spese con i due abbonamenti sono uguali dopo

2

mesi, quando entrambe valgono

80

euro; prima di

2

mesi costa meno il secondo, dopo costa meno il primo

Si indica con $x$ il numero di mesi e con $y$ la spesa totale in euro. Con il primo abbonamento la spesa è $y = 20x + 40$ , con il secondo è $y = 30x + 20$ . La spesa è la stessa quando i due valori di $y$ coincidono, quindi si cerca la soluzione del sistema. Entrambe le equazioni danno $y$ , perciò per sostituzione si uguagliano i due secondi membri.

Dall’equazione $30x + 20 = 20x + 40$ , sottraendo $20x$ e $20$ ai due membri, si ottiene $10x = 20$ , e quindi $x = 2$ . Sostituendo si trova $y = 80$ . Dopo $2$ mesi i due abbonamenti costano lo stesso, $80$ euro ciascuno. Per un solo mese il primo costa $60$ euro e il secondo $50$ euro, quindi costa meno il secondo. Nel grafico la retta del secondo abbonamento è più ripida, perché il suo costo mensile è maggiore, e dopo $2$ mesi supera quella del primo.

Esercizio 3

In una cartoleria $9$ quaderni grandi e $6$ quaderni piccoli costano in tutto $39$ euro, e ogni quaderno grande costa $1{,}50$ euro più di uno piccolo. Trova il prezzo di ciascun tipo di quaderno.

\begin{cases} 9x + 6y = 39 \\ x = y + \dfrac{3}{2} \end{cases}

\begin{aligned} 9\left( y + \frac{3}{2} \right) + 6y &= 39 \\[6pt] 9y + \frac{27}{2} + 6y &= 39 \\[6pt] 15y &= 39 - \frac{27}{2} = \frac{51}{2} \\[6pt] y &= \frac{51}{2} \cdot \frac{1}{15} = \frac{51}{30} = \frac{17}{10} \end{aligned}

x = \frac{17}{10} + \frac{3}{2} = \frac{17}{10} + \frac{15}{10} = \frac{32}{10} = \frac{16}{5}

Si indica con $x$ il prezzo in euro di un quaderno grande e con $y$ quello di un quaderno piccolo. Il costo totale dà la prima equazione, $9x + 6y = 39$ . La seconda informazione dice che $x$ supera $y$ di $1{,}50 = \dfrac{3}{2}$ , quindi $x = y + \dfrac{3}{2}$ . Le due condizioni vanno soddisfatte insieme, perciò si scrive il sistema.

La seconda equazione dà $x$ , quindi si usa il metodo di sostituzione. Il prodotto $9 \cdot \dfrac{3}{2}$ vale $\dfrac{27}{2}$ , e sommando $9y$ e $6y$ si ottiene $15y + \dfrac{27}{2} = 39$ . Poiché $39 = \dfrac{78}{2}$ , la differenza $39 - \dfrac{27}{2}$ vale $\dfrac{51}{2}$ . Dividendo per $15$ si trova $y = \dfrac{51}{30}$ , che semplificato per $3$ dà $\dfrac{17}{10} = 1{,}70$ . Infine $x = 1{,}70 + 1{,}50 = 3{,}20$ .

Un quaderno grande costa quindi $3{,}20$ euro e uno piccolo $1{,}70$ euro. Il controllo dà $9 \cdot 3{,}20 + 6 \cdot 1{,}70 = 28{,}80 + 10{,}20 = 39$ .

Esercizio 4

Su una mappa con un reticolo a quadretti, la casa di Anna si trova nel punto $A(-3, 1)$ e la scuola nel punto $S(9, 6)$ . Ogni quadretto ha il lato che corrisponde a $50$ metri. Calcola la distanza in linea d’aria tra la casa e la scuola, in metri, e trova il punto della mappa che si trova a metà strada.

\begin{aligned} \overline{AS} &= \sqrt{\big(9 - (-3)\big)^2 + (6 - 1)^2} \\[6pt] &= \sqrt{12^2 + 5^2} = \sqrt{144 + 25} \\[6pt] &= \sqrt{169} = 13 \end{aligned}

13 \cdot 50 = 650\,\text{m}

M\left( \frac{-3 + 9}{2}, \frac{1 + 6}{2} \right) = M\left( 3, \frac{7}{2} \right)

La distanza in linea d’aria è la lunghezza del segmento $AS$ , quindi si usa la formula della distanza tra due punti. La differenza delle ascisse è $9 - (-3) = 12$ e la differenza delle ordinate è $6 - 1 = 5$ . I loro quadrati sono $144$ e $25$ , e la somma è $169$ . La radice quadrata di $169$ è $13$ , perché $13 \cdot 13 = 169$ . Sulla mappa la distanza è quindi di $13$ lati di quadretto.

Ogni lato di quadretto corrisponde a $50$ metri, perciò la distanza reale è $13 \cdot 50 = 650$ metri. Il punto a metà strada è il punto medio del segmento. La media delle ascisse è $\dfrac{-3 + 9}{2} = \dfrac{6}{2} = 3$ e la media delle ordinate è $\dfrac{1 + 6}{2} = \dfrac{7}{2}$ , quindi il punto è $M\left( 3, \dfrac{7}{2} \right)$ , cioè a $3$ quadretti a destra e $3{,}5$ quadretti in alto rispetto all’origine della mappa.