Esercizi svolti · Scheda 6

Rette parallele e perpendicolari

Teoria usata: Rette parallele Rette perpendicolari Retta per un punto con coefficiente angolare dato Equazione della retta in forma implicita

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Esercizio 1

Stabilisci se le rette di ciascuna coppia sono parallele, perpendicolari oppure né parallele né perpendicolari.

$r: y = 4x - 1$ e $s: y = -\dfrac{1}{4}x + 3$ ;
$r: y = 2x + 5$ e $s: 4x - 2y + 1 = 0$ ;
$r: y = 2x$ e $s: y = -2x + 1$ .

4 \cdot \left( -\frac{1}{4} \right) = -1 \quad \Longrightarrow \quad \text{perpendicolari}

\begin{aligned} 4x - 2y + 1 &= 0 \\[6pt] -2y &= -4x - 1 \\[6pt] 2y &= 4x + 1 \\[6pt] y &= 2x + \frac{1}{2} \end{aligned}

m_r = m_s = 2 \quad \Longrightarrow \quad \text{parallele}

2 \cdot (-2) = -4 \neq -1, \quad 2 \neq -2 \quad \Longrightarrow \quad \text{né parallele né perpendicolari}

Nella prima coppia i coefficienti angolari sono $4$ e $-\dfrac{1}{4}$ . Il loro prodotto è $-\dfrac{4}{4} = -1$ , quindi le rette sono perpendicolari.

Nella seconda coppia la retta $s$ è in forma implicita, perciò prima si isola $y$ . Portando $4x + 1$ nel secondo membro si ottiene $-2y = -4x - 1$ , e cambiando segno ai due membri si ha $2y = 4x + 1$ . Dividendo per $2$ si trova $y = 2x + \dfrac{1}{2}$ . Le due rette hanno lo stesso coefficiente angolare $2$ e ordinate all’origine diverse, $5$ e $\dfrac{1}{2}$ , quindi sono parallele e distinte.

Nella terza coppia i coefficienti angolari $2$ e $-2$ sono diversi, perciò le rette non sono parallele. Il loro prodotto è $-4$ , diverso da $-1$ , quindi le rette non sono nemmeno perpendicolari.

Esercizio 2

Sia $r$ la retta $y = -3x + 4$ . Scrivi l’equazione della retta parallela a $r$ e di quella perpendicolare a $r$ che passano per il punto $P(2, 1)$ .

\text{parallela}: \quad m = -3

\begin{aligned} y - 1 &= -3\,(x - 2) \\[6pt] y - 1 &= -3x + 6 \\[6pt] y &= -3x + 7 \end{aligned}

\text{perpendicolare}: \quad m' = -\frac{1}{-3} = \frac{1}{3}

\begin{aligned} y - 1 &= \frac{1}{3}\,(x - 2) \\[6pt] y - 1 &= \frac{1}{3}x - \frac{2}{3} \\[6pt] y &= \frac{1}{3}x + \frac{1}{3} \end{aligned}

y = -3x + 7

y = \dfrac{1}{3}x + \dfrac{1}{3}

Per

P (2, 1)

passano la parallela a

y = - 3 x + 4

, con coefficiente angolare

- 3

, e la perpendicolare, con coefficiente angolare

\frac{1}{3}

Due rette parallele hanno lo stesso coefficiente angolare, quindi la parallela a $r$ ha $m = -3$ . Con la formula della retta per un punto si scrive $y - 1 = -3\,(x - 2)$ . Il prodotto $-3\,(x - 2)$ è $-3x + 6$ , e aggiungendo $1$ ai due membri si ottiene $y = -3x + 7$ .

Il coefficiente angolare della perpendicolare è l’opposto del reciproco di $-3$ . Il reciproco di $-3$ è $-\dfrac{1}{3}$ e il suo opposto è $\dfrac{1}{3}$ . Con la formula della retta per un punto si scrive $y - 1 = \dfrac{1}{3}\,(x - 2)$ , e il prodotto nel secondo membro è $\dfrac{1}{3}x - \dfrac{2}{3}$ . Aggiungendo $1 = \dfrac{3}{3}$ si ottiene $-\dfrac{2}{3} + \dfrac{3}{3} = \dfrac{1}{3}$ , quindi la perpendicolare è $y = \dfrac{1}{3}x + \dfrac{1}{3}$ . Il controllo con $P$ dà $\dfrac{2}{3} + \dfrac{1}{3} = 1$ .

Esercizio 3

Sia $r$ la retta $x + 2y - 4 = 0$ e sia $P(4, 3)$ . Scrivi l’equazione della retta parallela a $r$ e di quella perpendicolare a $r$ che passano per $P$ .

\begin{aligned} x + 2y - 4 &= 0 \\[6pt] 2y &= -x + 4 \\[6pt] y &= -\frac{1}{2}x + 2 \end{aligned} \qquad\qquad m = -\frac{1}{2}

\begin{aligned} y - 3 &= -\frac{1}{2}\,(x - 4) \\[6pt] y - 3 &= -\frac{1}{2}x + 2 \\[6pt] y &= -\frac{1}{2}x + 5 \end{aligned}

m' = -\frac{1}{-\frac{1}{2}} = 2

\begin{aligned} y - 3 &= 2\,(x - 4) \\[6pt] y - 3 &= 2x - 8 \\[6pt] y &= 2x - 5 \end{aligned}

La retta $r$ è in forma implicita, quindi prima si isola $y$ per leggere il coefficiente angolare. Portando $x - 4$ nel secondo membro si ottiene $2y = -x + 4$ , e dividendo per $2$ si trova $y = -\dfrac{1}{2}x + 2$ . Il coefficiente angolare di $r$ è perciò $m = -\dfrac{1}{2}$ .

La parallela per $P$ ha lo stesso coefficiente angolare. Il prodotto $-\dfrac{1}{2}\,(x - 4)$ vale $-\dfrac{1}{2}x + 2$ , e aggiungendo $3$ si ottiene $y = -\dfrac{1}{2}x + 5$ .

Per la perpendicolare si calcola l’opposto del reciproco di $-\dfrac{1}{2}$ . Il reciproco di $-\dfrac{1}{2}$ è $-2$ , e il suo opposto è $2$ ; infatti $-\dfrac{1}{2} \cdot 2 = -1$ . Con la formula della retta per un punto si ottiene $y - 3 = 2x - 8$ , quindi la perpendicolare è $y = 2x - 5$ . Il controllo con $P$ dà $2 \cdot 4 - 5 = 3$ .

Esercizio 4

Trova il valore di $k$ per cui la retta $y = (k - 1)\,x + 3$ è parallela alla retta $y = 5x - 2$ , e il valore di $k$ per cui è perpendicolare alla retta $y = 2x + 1$ .

\text{parallela}: \quad k - 1 = 5 \quad \Longrightarrow \quad k = 6

\begin{aligned} \text{perpendicolare}: \quad (k - 1) \cdot 2 &= -1 \\[6pt] k - 1 &= -\frac{1}{2} \\[6pt] k &= 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2} \end{aligned}

Il coefficiente angolare della retta data è il numero che moltiplica $x$ , cioè $k - 1$ . Due rette sono parallele quando hanno lo stesso coefficiente angolare, quindi si impone $k - 1 = 5$ . Aggiungendo $1$ ai due membri si ottiene $k = 6$ , e con questo valore la retta è $y = 5x + 3$ , parallela a $y = 5x - 2$ .

Due rette sono perpendicolari quando il prodotto dei coefficienti angolari è $-1$ , quindi si impone $(k - 1) \cdot 2 = -1$ . Dividendo per $2$ si ottiene $k - 1 = -\dfrac{1}{2}$ , e aggiungendo $1$ si trova $k = \dfrac{1}{2}$ . Con questo valore il coefficiente angolare è $\dfrac{1}{2} - 1 = -\dfrac{1}{2}$ , e la retta è $y = -\dfrac{1}{2}x + 3$ , perpendicolare a $y = 2x + 1$ .