Esercizi svolti · Scheda 3

Tabelle e grafici di funzioni

Teoria usata: Funzione Grafico di una funzione Equazione della retta in forma esplicita

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Esercizio 1

Compila la tabella dei valori della funzione $f(x) = 3 - 2x$ per $x = -2, -1, 0, 1, 2$ e disegna i punti ottenuti.

\begin{aligned} f(-2) &= 3 - 2 \cdot (-2) = 3 + 4 = 7 \\[6pt] f(-1) &= 3 - 2 \cdot (-1) = 3 + 2 = 5 \\[6pt] f(0) &= 3 - 2 \cdot 0 = 3 \\[6pt] f(1) &= 3 - 2 \cdot 1 = 1 \\[6pt] f(2) &= 3 - 2 \cdot 2 = -1 \end{aligned}

$x$	$-2$	$-1$	$0$	$1$	$2$
$f(x)$	$7$	$5$	$3$	$1$	$-1$

y = 3 - 2x

I cinque punti della tabella di

f (x) = 3 - 2 x

stanno su una retta che scende di

2

a ogni passo di

1

verso destra

Per ogni valore di $x$ si sostituisce il numero al posto di $x$ e si eseguono prima la moltiplicazione e poi la sottrazione. Per $x = -2$ il prodotto è $2 \cdot (-2) = -4$ , e sottrarre $-4$ equivale ad aggiungere $4$ , quindi $f(-2) = 7$ . Per $x = -1$ allo stesso modo si ottiene $3 + 2 = 5$ . Per $x = 0$ , $1$ , $2$ il prodotto è $0$ , $2$ , $4$ , e i risultati sono $3$ , $1$ , $-1$ .

Ogni colonna della tabella dà un punto del grafico, con $x$ come ascissa e $f(x)$ come ordinata. I punti sono $(-2, 7)$ , $(-1, 5)$ , $(0, 3)$ , $(1, 1)$ , $(2, -1)$ . Quando $x$ aumenta di $1$ il valore della funzione diminuisce sempre di $2$ , perciò i punti stanno su una retta, quella di equazione $y = -2x + 3$ .

Esercizio 2

Sia $f(x) = x^2 - 4$ . Calcola $f(3)$ , $f(-1)$ e $f(-2)$ . Stabilisci poi se i punti $P(3, 5)$ e $Q(-1, -5)$ appartengono al grafico di $f$ .

f(3) = 3^2 - 4 = 9 - 4 = 5

f(-1) = (-1)^2 - 4 = 1 - 4 = -3

f(-2) = (-2)^2 - 4 = 4 - 4 = 0

P(3, 5): \quad f(3) = 5 \quad \Longrightarrow \quad P \text{ appartiene al grafico}

Q(-1, -5): \quad f(-1) = -3 \neq -5 \quad \Longrightarrow \quad Q \text{ non appartiene al grafico}

Nel calcolo dei valori la potenza si esegue prima della sottrazione. Il quadrato di un numero negativo è positivo, quindi $(-1)^2 = 1$ e $(-2)^2 = 4$ . Si ottengono $f(3) = 5$ , $f(-1) = -3$ e $f(-2) = 0$ .

Un punto appartiene al grafico quando la sua ordinata è uguale al valore della funzione calcolato nella sua ascissa. Il punto $P$ ha ascissa $3$ e ordinata $5$ , e $f(3) = 5$ , quindi $P$ appartiene al grafico. Il punto $Q$ ha ascissa $-1$ e ordinata $-5$ , mentre $f(-1) = -3$ . Le due ordinate sono diverse, perciò $Q$ non appartiene al grafico; il punto del grafico con ascissa $-1$ è $(-1, -3)$ .

Esercizio 3

Stabilisci se i punti $A(-1, -2)$ e $B(2, 4)$ appartengono alla retta $y = 3x + 1$ . Trova poi il valore di $k$ per cui il punto $C(k, 7)$ appartiene alla retta $y = 2x + 1$ .

A(-1, -2): \quad 3 \cdot (-1) + 1 = -3 + 1 = -2 \quad \Longrightarrow \quad A \text{ appartiene alla retta}

B(2, 4): \quad 3 \cdot 2 + 1 = 7 \neq 4 \quad \Longrightarrow \quad B \text{ non appartiene alla retta}

\begin{aligned} 2k + 1 &= 7 \\[6pt] 2k &= 6 \\[6pt] k &= 3 \end{aligned}

Per controllare se un punto appartiene a una retta si sostituisce la sua ascissa nell’equazione e si confronta il risultato con la sua ordinata. Per $A$ si ottiene $3 \cdot (-1) + 1 = -2$ , che è proprio l’ordinata di $A$ , quindi $A$ appartiene alla retta. Per $B$ si ottiene $7$ , mentre l’ordinata di $B$ è $4$ , perciò $B$ non appartiene alla retta.

Nella seconda parte l’ascissa del punto $C$ è incognita. Il punto $C$ appartiene alla retta $y = 2x + 1$ quando la sua ordinata $7$ è uguale a $2k + 1$ , quindi si risolve l’equazione $2k + 1 = 7$ . Sottraendo $1$ ai due membri si ottiene $2k = 6$ , e dividendo per $2$ si trova $k = 3$ . Il punto è perciò $C(3, 7)$ , e infatti $2 \cdot 3 + 1 = 7$ .