Esercizi svolti · Scheda 7

Divisioni di un polinomio per un monomio

Teoria usata: Divisione di un polinomio per un monomio Quoziente di monomi Quadrato di un binomio

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Esercizio 1

Calcola, per $x \neq 0$ , il quoziente $\left( 10x^4 - 15x^3 + 5x^2 \right) : \left( 5x^2 \right)$ .

\begin{aligned} \frac{10x^4 - 15x^3 + 5x^2}{5x^2} &= \frac{10x^4}{5x^2} - \frac{15x^3}{5x^2} + \frac{5x^2}{5x^2} \\[6pt] &= 2x^2 - 3x + 1 \end{aligned}

Il divisore $5x^2$ è diverso da zero, perché $x \neq 0$ . Per la regola della divisione di un polinomio per un monomio si divide ogni termine del polinomio per $5x^2$ .

Ogni quoziente si calcola con la regola del quoziente di monomi. Nel primo si ha $\dfrac{10}{5} = 2$ e $x^{4 - 2} = x^2$ . Nel secondo si ha $\dfrac{15}{5} = 3$ e $x^{3 - 2} = x$ , con il segno meno del termine $-15x^3$ . Nel terzo il termine $5x^2$ è uguale al divisore, quindi il quoziente è $1$ . Il risultato è perciò $2x^2 - 3x + 1$ .

Esercizio 2

Calcola, per $a \neq 0$ e $b \neq 0$ , il quoziente $\left( 12a^3b^2 - 6a^2b^3 + 9a^2b^2 \right) : \left( -3a^2b \right)$ .

\begin{aligned} &\frac{12a^3b^2 - 6a^2b^3 + 9a^2b^2}{-3a^2b} \\[6pt] &= \frac{12a^3b^2}{-3a^2b} + \frac{-6a^2b^3}{-3a^2b} + \frac{9a^2b^2}{-3a^2b} \\[6pt] &= -4ab + 2b^2 - 3b \end{aligned}

Il divisore $-3a^2b$ è diverso da zero, perché $a \neq 0$ e $b \neq 0$ , e ha coefficiente negativo. Per la regola dei segni ogni quoziente ha quindi segno opposto a quello del termine che si divide.

Nel primo quoziente $\dfrac{12}{-3} = -4$ , $a^{3 - 2} = a$ e $b^{2 - 1} = b$ , quindi si ottiene $-4ab$ . Nel secondo $\dfrac{-6}{-3} = 2$ , la lettera $a$ ha lo stesso esponente nei due monomi e non compare, e $b^{3 - 1} = b^2$ ; si ottiene $2b^2$ . Nel terzo $\dfrac{9}{-3} = -3$ , la lettera $a$ non compare e $b^{2 - 1} = b$ ; si ottiene $-3b$ .

Esercizio 3

Semplifica, per $x \neq 0$ , l’espressione $\left( 12x^4 - 8x^3 + 4x^2 \right) : \left( 4x^2 \right) - (x - 1)^2$ .

\begin{aligned} &\frac{12x^4 - 8x^3 + 4x^2}{4x^2} - (x - 1)^2 \\[6pt] &= 3x^2 - 2x + 1 - \left( x^2 - 2x + 1 \right) \\[6pt] &= 3x^2 - 2x + 1 - x^2 + 2x - 1 \\[6pt] &= 2x^2 \end{aligned}

La divisione si esegue termine per termine, perché il divisore $4x^2$ è un monomio diverso da zero. Si ottiene $\dfrac{12x^4}{4x^2} = 3x^2$ , $\dfrac{8x^3}{4x^2} = 2x$ con il segno meno, e $\dfrac{4x^2}{4x^2} = 1$ .

Il secondo termine è un quadrato di un binomio, e vale $x^2 - 2x + 1$ . Lo sviluppo si scrive $\left( x^2 - 2x + 1 \right)$ , perché il segno meno davanti riguarda tutti i suoi termini, e con il segno meno diventa $-x^2 + 2x - 1$ .

Infine si riducono i termini simili: $3x^2 - x^2 = 2x^2$ , mentre $-2x$ e $2x$ sono opposti e anche $1$ e $-1$ sono opposti. L’espressione è perciò uguale a $2x^2$ .