Esercizi svolti · Scheda 5

Quadrati di binomi e somme per differenze

Teoria usata: Prodotti notevoli Quadrato di un binomio Somma per differenza Riduzione dei termini simili

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Esercizio 1

Sviluppa $(x + 5)^2$ e $(3a - 2)^2$ .

\begin{aligned} (x + 5)^2 &= x^2 + 2 \cdot x \cdot 5 + 5^2 \\[6pt] &= x^2 + 10x + 25 \end{aligned}

\begin{aligned} (3a - 2)^2 &= (3a)^2 - 2 \cdot 3a \cdot 2 + 2^2 \\[6pt] &= 9a^2 - 12a + 4 \end{aligned}

Si applica la formula del quadrato di un binomio: quadrato del primo termine, più il doppio prodotto, più il quadrato del secondo termine. Nel primo binomio i termini sono $x$ e $5$ , quindi il doppio prodotto è $2 \cdot x \cdot 5 = 10x$ e il quadrato del secondo è $25$ .

Nel secondo binomio il primo termine è il monomio $3a$ , e il suo quadrato è $(3a)^2 = 9a^2$ , perché si elevano al quadrato sia il coefficiente sia la lettera. I due termini $3a$ e $-2$ hanno segni opposti, perciò il doppio prodotto ha il segno meno e vale $-2 \cdot 3a \cdot 2 = -12a$ . Il quadrato di $-2$ è $4$ , positivo come ogni quadrato.

Esercizio 2

Sviluppa $\left( \dfrac{1}{2}x - 4y \right)^2$ .

\begin{aligned} \left( \frac{1}{2}x - 4y \right)^2 &= \left( \frac{1}{2}x \right)^2 - 2 \cdot \frac{1}{2}x \cdot 4y + (4y)^2 \\[6pt] &= \frac{1}{4}x^2 - 4xy + 16y^2 \end{aligned}

I due termini del binomio sono $\dfrac{1}{2}x$ e $-4y$ . Il quadrato del primo è $\dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{2} \cdot x^2 = \dfrac{1}{4}x^2$ , e il quadrato del secondo è $16y^2$ .

Per il doppio prodotto si moltiplicano i coefficienti: $2 \cdot \dfrac{1}{2} = 1$ e poi $1 \cdot 4 = 4$ . Il segno è meno, perché i due termini hanno segni opposti, quindi il doppio prodotto è $-4xy$ . Lo sviluppo è perciò $\dfrac{1}{4}x^2 - 4xy + 16y^2$ .

Esercizio 3

Calcola il prodotto $(2x + 3y)(2x - 3y)$ , e poi calcola a mente $43 \cdot 37$ con la stessa formula.

(2x + 3y)(2x - 3y) = (2x)^2 - (3y)^2 = 4x^2 - 9y^2

\begin{aligned} 43 \cdot 37 &= (40 + 3)(40 - 3) \\[6pt] &= 40^2 - 3^2 \\[6pt] &= 1600 - 9 = 1591 \end{aligned}

I due binomi hanno gli stessi termini $2x$ e $3y$ , sommati nel primo e sottratti nel secondo. Si applica quindi la formula della somma per differenza, e il prodotto è la differenza dei quadrati $(2x)^2 = 4x^2$ e $(3y)^2 = 9y^2$ .

I numeri $43$ e $37$ hanno come media $40$ , e distano entrambi $3$ da $40$ . Perciò $43 = 40 + 3$ e $37 = 40 - 3$ , e il prodotto è una somma per differenza. Si ottiene $40^2 - 3^2 = 1600 - 9 = 1591$ .

Esercizio 4

Semplifica l’espressione $(x + 3)^2 - (x + 2)(x - 2) - 6x$ .

\begin{aligned} &(x + 3)^2 - (x + 2)(x - 2) - 6x \\[6pt] &= x^2 + 6x + 9 - \left( x^2 - 4 \right) - 6x \\[6pt] &= x^2 + 6x + 9 - x^2 + 4 - 6x \\[6pt] &= 13 \end{aligned}

Il primo prodotto notevole è un quadrato di binomio, e vale $x^2 + 6x + 9$ . Il secondo è una somma per differenza, e vale $x^2 - 4$ . Il risultato si scrive $\left( x^2 - 4 \right)$ , perché il segno meno davanti al prodotto riguarda tutti i suoi termini.

Il segno meno cambia quindi $x^2$ in $-x^2$ e $-4$ in $+4$ . I termini $x^2$ e $-x^2$ sono opposti, e anche $6x$ e $-6x$ sono opposti, quindi la loro somma è $0$ . Restano $9 + 4 = 13$ . L’espressione è perciò costante e vale $13$ per ogni valore di $x$ . Con $x = 1$ , per esempio, si ha $16 - 3 \cdot (-1) - 6 = 16 + 3 - 6 = 13$ .