Esercizi svolti · Scheda 5

Moltiplicazioni, divisioni e potenze di frazioni

Teoria usata: Moltiplicazione di frazioni Reciproco di una frazione Divisione di frazioni Potenza di una frazione

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Esercizio 1

Calcola $\dfrac{8}{21} \cdot \dfrac{7}{12}$ e $4 \cdot \dfrac{5}{6}$ .

\frac{8}{21} \cdot \frac{7}{12} = \frac{2 \cdot 1}{3 \cdot 3} = \frac{2}{9}

4 \cdot \frac{5}{6} = \frac{4}{1} \cdot \frac{5}{6} = \frac{2 \cdot 5}{1 \cdot 3} = \frac{10}{3}

Nel primo prodotto si semplifica prima di moltiplicare. Il numeratore $8$ e il denominatore $12$ sono divisibili per $4$ , e diventano $2$ e $3$ . Il numeratore $7$ e il denominatore $21$ sono divisibili per $7$ , e diventano $1$ e $3$ . Questa semplificazione in croce è possibile perché il prodotto è un’unica frazione con tutti questi fattori sopra e sotto. Moltiplicando i numeratori e i denominatori che restano si ottiene $\dfrac{2}{9}$ .

Nel secondo prodotto il numero $4$ si scrive come $\dfrac{4}{1}$ . I numeri $4$ e $6$ sono divisibili per $2$ e diventano $2$ e $3$ . Il prodotto è $\dfrac{10}{3}$ .

Esercizio 2

Calcola $\dfrac{9}{10} : \dfrac{3}{5}$ e $\dfrac{4}{7} : 2$ .

\frac{9}{10} : \frac{3}{5} = \frac{9}{10} \cdot \frac{5}{3} = \frac{3 \cdot 1}{2 \cdot 1} = \frac{3}{2}

\frac{4}{7} : 2 = \frac{4}{7} \cdot \frac{1}{2} = \frac{2 \cdot 1}{7 \cdot 1} = \frac{2}{7}

Per dividere per una frazione si moltiplica per il suo reciproco. Il reciproco di $\dfrac{3}{5}$ è $\dfrac{5}{3}$ , quindi la prima divisione diventa $\dfrac{9}{10} \cdot \dfrac{5}{3}$ . Si semplificano in croce $9$ con $3$ , dividendo per $3$ , e $5$ con $10$ , dividendo per $5$ . Il risultato è $\dfrac{3}{2}$ .

Il numero $2$ si scrive come $\dfrac{2}{1}$ e il suo reciproco è $\dfrac{1}{2}$ . Si semplifica $4$ con $2$ , e il risultato è $\dfrac{2}{7}$ . Dividere per $2$ vuol dire prendere la metà, e infatti la metà di quattro settimi è due settimi.

Esercizio 3

Calcola $\left( \dfrac{3}{4} \right)^2 \cdot \dfrac{8}{27}$ e $\left( -\dfrac{2}{3} \right)^3 : \dfrac{4}{9}$ .

\left( \frac{3}{4} \right)^2 \cdot \frac{8}{27} = \frac{9}{16} \cdot \frac{8}{27} = \frac{1 \cdot 1}{2 \cdot 3} = \frac{1}{6}

\begin{aligned} \left( -\frac{2}{3} \right)^3 : \frac{4}{9} &= -\frac{8}{27} : \frac{4}{9} \\[6pt] &= -\frac{8}{27} \cdot \frac{9}{4} \\[6pt] &= -\frac{2 \cdot 1}{3 \cdot 1} = -\frac{2}{3} \end{aligned}

La potenza si calcola prima del prodotto. Si ha $\left( \dfrac{3}{4} \right)^2 = \dfrac{3^2}{4^2} = \dfrac{9}{16}$ . Nel prodotto si semplificano $9$ con $27$ , dividendo per $9$ , e $8$ con $16$ , dividendo per $8$ , quindi il risultato è $\dfrac{1}{6}$ .

Nella seconda espressione la base è negativa e l’esponente $3$ è dispari, perciò la potenza è negativa e vale $-\dfrac{2^3}{3^3} = -\dfrac{8}{27}$ . La divisione per $\dfrac{4}{9}$ diventa la moltiplicazione per $\dfrac{9}{4}$ . Si semplificano $8$ con $4$ , dividendo per $4$ , e $9$ con $27$ , dividendo per $9$ . Il prodotto di un numero negativo per uno positivo è negativo, quindi il risultato è $-\dfrac{2}{3}$ .

Esercizio 4

Calcola $\dfrac{5}{6} \cdot \dfrac{9}{10} : \dfrac{3}{8}$ .

\begin{aligned} \frac{5}{6} \cdot \frac{9}{10} : \frac{3}{8} &= \frac{1 \cdot 3}{2 \cdot 2} : \frac{3}{8} \\[6pt] &= \frac{3}{4} : \frac{3}{8} \\[6pt] &= \frac{3}{4} \cdot \frac{8}{3} \\[6pt] &= 2 \end{aligned}

Moltiplicazione e divisione si eseguono nell’ordine in cui compaiono, da sinistra verso destra. Nel prodotto $\dfrac{5}{6} \cdot \dfrac{9}{10}$ si semplificano $5$ con $10$ , dividendo per $5$ , e $9$ con $6$ , dividendo per $3$ . Restano $\dfrac{1 \cdot 3}{2 \cdot 2} = \dfrac{3}{4}$ .

Poi si divide per $\dfrac{3}{8}$ , cioè si moltiplica per il reciproco $\dfrac{8}{3}$ . Il $3$ al numeratore si semplifica con il $3$ al denominatore, e l’ $8$ al numeratore si semplifica con il $4$ al denominatore, perché $8 : 4 = 2$ . Il risultato è il numero intero $2$ .