Esercizi svolti · Scheda 5

Calcolo del massimo comune divisore

Teoria usata: Massimo comune divisore Calcolo del MCD con la scomposizione Schema in colonna Numeri primi tra loro

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Esercizio 1

Calcola $\operatorname{MCD}(20, 30)$ con l’elenco dei divisori.

\text{divisori di } 20: \quad 1, 2, 4, 5, 10, 20

\text{divisori di } 30: \quad 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30

\text{divisori comuni}: \quad 1, 2, 5, 10

\operatorname{MCD}(20, 30) = 10

I divisori di $20$ vengono dalle coppie $1 \cdot 20$ , $2 \cdot 10$ e $4 \cdot 5$ ; quelli di $30$ dalle coppie $1 \cdot 30$ , $2 \cdot 15$ , $3 \cdot 10$ e $5 \cdot 6$ . I numeri presenti in entrambi gli elenchi sono $1$ , $2$ , $5$ e $10$ . Il più grande è $10$ , quindi il massimo comune divisore è $10$ .

Esercizio 2

Calcola $\operatorname{MCD}(72, 120)$ con la scomposizione in fattori primi.

\begin{array}{r|l} 72 & 2 \\ 36 & 2 \\ 18 & 2 \\ 9 & 3 \\ 3 & 3 \\ 1 & \end{array} \qquad\qquad \begin{array}{r|l} 120 & 2 \\ 60 & 2 \\ 30 & 2 \\ 15 & 3 \\ 5 & 5 \\ 1 & \end{array}

72 = 2^3 \cdot 3^2, \qquad 120 = 2^3 \cdot 3 \cdot 5

\operatorname{MCD}(72, 120) = 2^3 \cdot 3 = 24

Le due scomposizioni si eseguono con lo schema in colonna. Il numero $72$ si divide tre volte per $2$ e due volte per $3$ ; il numero $120$ si divide tre volte per $2$ , una volta per $3$ e una per $5$ .

Per la regola del MCD si prendono i fattori comuni con l’esponente minore. Il $2$ compare in entrambi con esponente $3$ , quindi si prende $2^3 = 8$ . Il $3$ compare con esponente $2$ in $72$ e con esponente $1$ in $120$ , perciò si prende $3^1 = 3$ . Il $5$ compare solo in $120$ e non entra nel MCD. Si ottiene $8 \cdot 3 = 24$ .

Esercizio 3

Calcola $\operatorname{MCD}(126, 210, 294)$ .

126 = 2 \cdot 3^2 \cdot 7

210 = 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7

294 = 2 \cdot 3 \cdot 7^2

\operatorname{MCD}(126, 210, 294) = 2 \cdot 3 \cdot 7 = 42

Le scomposizioni si ottengono così. Il numero $126$ è pari, $126 : 2 = 63$ , e $63 = 3^2 \cdot 7$ . Il numero $210$ è $21 \cdot 10 = 3 \cdot 7 \cdot 2 \cdot 5$ . Il numero $294$ è pari, $294 : 2 = 147$ , la somma delle cifre di $147$ è $12$ e $147 : 3 = 49 = 7^2$ .

I fattori comuni a tutti e tre i numeri sono $2$ , $3$ e $7$ ; il $5$ compare solo in $210$ . Per ciascun fattore comune l’esponente minore è $1$ , perché il $2$ ha sempre esponente $1$ , il $3$ ha esponente $1$ in $210$ e in $294$ , e il $7$ ha esponente $1$ in $126$ e in $210$ . Perciò il MCD è $2 \cdot 3 \cdot 7 = 42$ .

Esercizio 4

Stabilisci se le coppie $45$ e $56$ , $39$ e $65$ sono formate da numeri primi tra loro.

45 = 3^2 \cdot 5, \qquad 56 = 2^3 \cdot 7 \qquad \Longrightarrow \qquad \operatorname{MCD}(45, 56) = 1

39 = 3 \cdot 13, \qquad 65 = 5 \cdot 13 \qquad \Longrightarrow \qquad \operatorname{MCD}(39, 65) = 13

I numeri $45$ e $56$ sono primi tra loro; i numeri $39$ e $65$ non lo sono.

Due numeri sono primi tra loro quando il loro MCD è $1$ . Le scomposizioni di $45$ e di $56$ non hanno fattori in comune, perché in $45$ compaiono solo $3$ e $5$ , in $56$ solo $2$ e $7$ . L’unico divisore comune è quindi $1$ , e i due numeri sono primi tra loro, anche se nessuno dei due è un numero primo.

Nelle scomposizioni di $39$ e di $65$ compare invece il fattore comune $13$ , quindi $\operatorname{MCD}(39, 65) = 13$ . Poiché il MCD è diverso da $1$ , i numeri $39$ e $65$ non sono primi tra loro.