Esercizi svolti · Scheda 3

Numeri primi e numeri composti

Teoria usata: Numeri primi e numeri composti Come si riconosce un numero primo Crivello di Eratostene Divisibilità per 3 e per 9 Divisibilità per 11

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Esercizio 1

Stabilisci se $51$ e $53$ sono numeri primi.

5 + 1 = 6 \qquad \Longrightarrow \qquad 51 = 3 \cdot 17

\begin{aligned} 53 : 2 &= 26 \quad \text{resto } 1 \\[6pt] 53 : 3 &= 17 \quad \text{resto } 2 \\[6pt] 53 : 5 &= 10 \quad \text{resto } 3 \\[6pt] 53 : 7 &= 7 \quad \text{resto } 4 \end{aligned}

Il numero $51$ è composto; il numero $53$ è primo.

La somma delle cifre di $51$ è $6$ , che è multiplo di $3$ , quindi per il criterio di divisibilità per $3$ il numero $51$ è divisibile per $3$ . La divisione dà $51 : 3 = 17$ , perciò $51 = 3 \cdot 17$ ha un divisore diverso da $1$ e da $51$ , ed è composto.

Per $53$ si provano i numeri primi in ordine. Il primo numero primo che moltiplicato per sé stesso supera $53$ è $11$ , perché $7 \cdot 7 = 49$ è minore di $53$ e $11 \cdot 11 = 121$ è maggiore. Quindi bastano le divisioni per $2$ , $3$ , $5$ e $7$ . Nessuna ha resto $0$ , perciò $53$ è primo.

Esercizio 2

Stabilisci se $133$ e $157$ sono numeri primi.

133 : 7 = 19 \quad \text{resto } 0 \qquad \Longrightarrow \qquad 133 = 7 \cdot 19

\begin{aligned} 157 : 2 &= 78 \quad \text{resto } 1 \\[6pt] 157 : 3 &= 52 \quad \text{resto } 1 \\[6pt] 157 : 5 &= 31 \quad \text{resto } 2 \\[6pt] 157 : 7 &= 22 \quad \text{resto } 3 \\[6pt] 157 : 11 &= 14 \quad \text{resto } 3 \end{aligned}

Il numero $133$ è composto; il numero $157$ è primo.

Il numero $133$ è dispari, quindi non è divisibile per $2$ . La somma delle cifre è $7$ , che non è multiplo di $3$ , e l’ultima cifra non è $0$ né $5$ , perciò $133$ non è divisibile per $3$ né per $5$ . La divisione per $7$ ha invece resto $0$ , perché $7 \cdot 19 = 70 + 63 = 133$ . Quindi $133$ è composto.

Per $157$ il primo numero primo da non provare è $13$ , perché $11 \cdot 11 = 121$ è minore di $157$ e $13 \cdot 13 = 169$ è maggiore. Si dividono quindi $157$ per $2$ , $3$ , $5$ , $7$ e $11$ . Le prime tre prove si fanno con i criteri, perché $157$ è dispari, ha somma delle cifre $13$ e termina con $7$ . Le divisioni per $7$ e per $11$ hanno resto $3$ , dato che $7 \cdot 22 = 154$ e $11 \cdot 14 = 154$ . Nessuna divisione ha resto $0$ , perciò $157$ è primo.

Esercizio 3

Trova i numeri primi compresi tra $60$ e $80$ .

\begin{aligned} 62, 64, 66, 68, 70, 72, 74, 76, 78 &\quad \text{pari} \\[6pt] 63 = 3 \cdot 21, \quad 69 = 3 \cdot 23 &\quad \text{multipli di } 3 \\[6pt] 65 = 5 \cdot 13, \quad 75 = 5 \cdot 15 &\quad \text{multipli di } 5 \\[6pt] 77 = 7 \cdot 11 &\quad \text{multiplo di } 7 \end{aligned}

I numeri primi compresi tra $60$ e $80$ sono $61, 67, 71, 73, 79$ .

Si applica il metodo del crivello di Eratostene ai numeri da $61$ a $79$ . Poiché $9 \cdot 9 = 81$ supera $79$ , un numero composto di questo intervallo ha un divisore primo minore di $9$ , quindi bastano i multipli di $2$ , $3$ , $5$ e $7$ .

Prima si eliminano i numeri pari. Tra i dispari restano $61, 63, 65, 67, 69, 71, 73, 75, 77, 79$ . Il numero $63$ ha somma delle cifre $9$ e il numero $69$ ha somma delle cifre $15$ , quindi sono multipli di $3$ . I numeri $65$ e $75$ terminano con $5$ , perciò sono multipli di $5$ . Infine i multipli di $7$ compresi tra $60$ e $80$ sono $63$ , $70$ e $77 = 7 \cdot 11$ , e soltanto $77$ non era ancora stato eliminato. I numeri che non sono stati eliminati sono primi.