Esercizi svolti · Scheda 2
Negazione delle frasi quantificate
Teoria usata: Negazione delle quattro formeAlcuni significa almeno uno
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Esercizio 1
Qual è la negazione della frase “Tutti gli sportelli dell’ufficio postale sono aperti”?
- A) Nessuno sportello dell’ufficio postale è aperto
- B) Alcuni sportelli dell’ufficio postale sono aperti
- C) Almeno uno sportello dell’ufficio postale non è aperto
- D) La maggior parte degli sportelli dell’ufficio postale non è aperta
- E) Esattamente uno sportello dell’ufficio postale non è aperto
| situazione | tutti aperti | almeno uno non aperto |
|---|---|---|
| sportelli aperti su | V | F |
| sportelli aperti su | F | V |
| sportelli aperti su | F | V |
La negazione deve essere vera esattamente quando la frase data è falsa. La frase “Tutti gli sportelli sono aperti” è falsa appena uno sportello è chiuso, quindi per la negazione delle quattro forme la sua negazione è “Almeno uno sportello non è aperto”. La tabella mostra che le due frasi hanno sempre valori opposti. L’opzione A attira chi nega “tutti” con “nessuno”; infatti con sportelli aperti su la frase data e l’opzione A sono entrambe false. Le opzioni D ed E sono vere solo in alcune delle situazioni in cui la frase data è falsa. La risposta corretta è la C.
Esercizio 2
Qual è la negazione della frase “Alcuni treni regionali partono in ritardo”?
- A) Tutti i treni regionali partono in ritardo
- B) Alcuni treni regionali non partono in ritardo
- C) Alcuni treni che partono in ritardo non sono regionali
- D) Tutti i treni che partono in ritardo sono regionali
- E) Nessun treno regionale parte in ritardo
La frase “Alcuni treni regionali partono in ritardo” afferma che almeno un treno regionale parte in ritardo. Questa frase è falsa soltanto quando nessun treno regionale parte in ritardo, perciò la negazione è “Nessun treno regionale parte in ritardo”. L’opzione B attira chi legge “alcuni” nel senso comune di “alcuni sì e altri no”; in logica “Alcuni sono ” e “Alcuni non sono ” possono essere vere insieme, quindi non sono una la negazione dell’altra. La risposta corretta è la E.
Esercizio 3
Qual è la negazione della frase “Ogni candidato ammesso all’orale ha superato sia la prova scritta sia la prova pratica”?
- A) Nessun candidato ammesso all’orale ha superato sia la prova scritta sia la prova pratica
- B) Almeno un candidato ammesso all’orale non ha superato la prova scritta oppure non ha superato la prova pratica
- C) Almeno un candidato ammesso all’orale non ha superato né la prova scritta né la prova pratica
- D) Almeno un candidato ammesso all’orale ha superato la prova scritta e non ha superato la prova pratica
- E) Ogni candidato non ammesso all’orale ha superato sia la prova scritta sia la prova pratica
| scritta | pratica | “scritta e pratica” | “non scritta o non pratica” |
|---|---|---|---|
| V | V | V | F |
| V | F | F | V |
| F | V | F | V |
| F | F | F | V |
La frase è universale, quindi la sua negazione afferma che esiste un candidato ammesso che non ha la proprietà “scritta e pratica”. Per le leggi di De Morgan la negazione di “scritta e pratica” è “non scritta oppure non pratica”, con la “o” inclusiva, come mostra la tabella. Si ottiene perciò l’opzione B. Le opzioni C e D descrivono soltanto una delle tre righe in cui la proprietà composta è falsa, e un candidato che ha superato la scritta e non la pratica rende vera B e falsa C. La risposta corretta è la B.