Connettivi, negazioni e implicazioni

1. Proposizione

Una proposizione è una frase che è vera oppure falsa, senza una terza possibilità. Si dice che la proposizione ha valore di verità V (vero) oppure F (falso). Le proposizioni si indicano con lettere maiuscole $A$, $B$, $C$.

• “Torino è in Piemonte” è una proposizione vera.
• “Un anno ha $13$ mesi” è una proposizione falsa.
• “Chiudi la porta” e “Che ore sono?” non sono proposizioni, perché un ordine e una domanda non sono né veri né falsi.

Nei quiz di logica ogni frase del testo è una proposizione, e la domanda chiede quali altre frasi sono vere, o false, quando è vera la frase data.

2. Proposizioni composte e tavole di verità

Una proposizione composta si ottiene collegando proposizioni più semplici con le parole “non”, “e”, “o”, “se … allora”, “se e solo se”, che si chiamano connettivi. Il valore di verità di una proposizione composta dipende soltanto dai valori di verità delle parti. La frase “Anna è in ufficio e Bruno è in ferie” è composta dalle proposizioni $A$ = “Anna è in ufficio” e $B$ = “Bruno è in ferie”.

Con due proposizioni i casi possibili sono quattro, cioè VV, VF, FV e FF; con tre proposizioni sono otto. La tabella che elenca tutti i casi e, per ciascuno, il valore della proposizione composta si chiama tavola di verità. Le tavole di verità servono a stabilire quando una frase è vera e a confrontare due frasi riga per riga.

1. Negazione

La negazione di $A$, scritta $\neg A$ e letta “non $A$”, è vera quando $A$ è falsa ed è falsa quando $A$ è vera.

La negazione di “Il negozio è aperto” è “Il negozio non è aperto”, che si può scrivere anche “Non è vero che il negozio è aperto”. Di una frase e della sua negazione, esattamente una è vera. Negando due volte si torna alla frase di partenza, quindi “Non è vero che il negozio non è aperto” equivale a “Il negozio è aperto”.

2. Congiunzione

La congiunzione di $A$ e $B$, scritta $A\wedge B$ e letta ”$A$ e $B$”, è vera quando $A$ e $B$ sono entrambe vere ed è falsa in tutti gli altri casi.

La frase “Luca ha la patente e ha l’auto” è falsa se Luca ha la patente e non ha l’auto. In un bando i requisiti uniti da “e” devono essere posseduti tutti insieme.

3. Disgiunzione inclusiva

La disgiunzione di $A$ e $B$, scritta $A\vee B$ e letta ”$A$ o $B$”, è vera quando almeno una delle due è vera, compreso il caso in cui sono vere entrambe. È falsa solo quando $A$ e $B$ sono entrambe false.

Questa “o” si chiama inclusiva, ed è la “o” della logica quando il testo non dice altro. Un bando che ammette “chi ha la laurea o chi ha cinque anni di servizio” ammette anche chi ha entrambi i requisiti ed esclude soltanto chi non ne ha nessuno.

4. Disgiunzione esclusiva

La disgiunzione esclusiva “o $A$ o $B$, ma non entrambe” è vera quando esattamente una delle due proposizioni è vera. Rispetto alla “o” inclusiva cambia soltanto la prima riga, in cui $A$ e $B$ sono vere insieme.

Nei quiz la “o” esclusiva è dichiarata con “ma non entrambi” o con espressioni come “uno solo dei due”. La frase “Il premio va o a Giulia o a Marco, ma non a entrambi” esclude il caso in cui vincono tutti e due. Senza un’indicazione di questo tipo la “o” si legge inclusiva.