Teoria

Condizioni necessarie e sufficienti

Che cosa significano condizione sufficiente, condizione necessaria e condizione necessaria e sufficiente, come si traduce ogni formulazione in un'implicazione con il verso giusto, quali deduzioni sono valide e come si risolvono i quesiti su catene di implicazioni, regolamenti e bandi.

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Condizione sufficiente
Condizione necessaria

Condizione sufficiente

Un’affermazione, o proposizione, è una frase che è vera oppure falsa, come “oggi piove” o “Marco ha la patente”. Date due affermazioni $A$ e $B$ , si dice che $A$ è condizione sufficiente per $B$ quando, ogni volta che $A$ è vera, anche $B$ è vera. Il legame si esprime con la frase “se $A$ , allora $B$ ”, che si chiama implicazione; $A$ è l’antecedente e $B$ il conseguente. Nei testi dei concorsi la stessa implicazione compare in più forme:

“se $A$ , allora $B$ ”, oppure “se $A$ , $B$ ”;
“basta che $A$ perché $B$ ”, oppure “è sufficiente che $A$ perché $B$ ”;
“ogni volta che $A$ , $B$ ”, oppure “quando $A$ , $B$ ”.

Nella frase «Se un pacco pesa più di $20$ kg, si paga un supplemento» pesare più di $20$ kg è condizione sufficiente per pagare il supplemento. Saputo che un pacco pesa $25$ kg, si conclude che per quel pacco si paga il supplemento, senza bisogno di altre informazioni.

Quando un'implicazione è falsa

L’implicazione “se $A$ , allora $B$ ” è falsa in un solo caso, quando $A$ è vera e $B$ è falsa. Negli altri tre casi è vera.

$A$	$B$	se $A$ , allora $B$
V	V	V
V	F	F
F	V	V
F	F	V

La frase «Se piove, Luca prende l’autobus» parla soltanto dei giorni di pioggia, perciò è smentita solo da un giorno in cui piove e Luca non prende l’autobus. In un giorno senza pioggia Luca può prendere l’autobus oppure andare a piedi, e in entrambi i casi la frase resta vera. Con la tabella si risolvono i quesiti che chiedono quale situazione non può verificarsi, perché l’unica situazione esclusa da “se $A$ , allora $B$ ” è quella con $A$ vera e $B$ falsa.

Lettura con gli insiemi

Quando $A$ e $B$ descrivono proprietà di persone, animali o numeri, la frase “se un elemento ha la proprietà $A$ , allora ha la proprietà $B$ ” significa che l’insieme degli elementi con la proprietà $A$ è contenuto nell’insieme degli elementi con la proprietà $B$ . La frase «Se un animale è un gatto, allora è un mammifero» dice che l’insieme dei gatti sta dentro l’insieme dei mammiferi.

L'insieme dei gatti è contenuto nell'insieme dei mammiferi, quindi essere un gatto è condizione sufficiente per essere un mammifero

Un elemento del cerchio piccolo sta anche nel cerchio grande, quindi essere un gatto basta per essere un mammifero. Un elemento del cerchio grande può stare fuori da quello piccolo, come un cane, quindi essere un mammifero non basta per essere un gatto.

Condizione necessaria

Si dice che $B$ è condizione necessaria per $A$ quando $A$ non può essere vera se $B$ è falsa. Le formulazioni più frequenti sono:

” $A$ solo se $B$ ”, oppure ” $A$ soltanto se $B$ ”;
“per $A$ è necessario che $B$ ”, “occorre che $B$ ”, “bisogna che $B$ ”;
“senza $B$ non si ha $A$ ”;
” $B$ è indispensabile per $A$ ”.

Nella frase «Si entra in aula solo se si mostra un documento» mostrare il documento è condizione necessaria per entrare. Quindi chi è entrato in aula ha mostrato il documento, e chi non lo ha mostrato non è entrato. La frase non garantisce l’ingresso a chi mostra il documento, perché un candidato con il documento può essere escluso per un altro motivo, per esempio perché è arrivato in ritardo.

Due letture della stessa implicazione

$B$ è condizione necessaria per $A$ se e solo se vale l’implicazione “se $A$ , allora $B$ ”. Perciò le due frasi

” $A$ è condizione sufficiente per $B$ ”,
” $B$ è condizione necessaria per $A$ ”

hanno lo stesso significato. Ogni implicazione si legge in due modi, e l’antecedente è sufficiente per il conseguente, mentre il conseguente è necessario per l’antecedente. La regola vale perché ” $B$ è necessaria per $A$ ” esclude soltanto il caso in cui $A$ è vera e $B$ è falsa, che è l’unico caso in cui “se $A$ , allora $B$ ” è falsa.

Per un numero intero $n$ vale «se $n$ è multiplo di $4$ , allora $n$ è pari». Quindi essere multiplo di $4$ è sufficiente per essere pari, ed essere pari è necessario per essere multiplo di $4$ , perché un numero dispari non è mai multiplo di $4$ .

«Solo se» e «se»

La frase ” $A$ solo se $B$ ” non equivale a ” $A$ se $B$ ”. La frase «Il cancello si apre solo se si inserisce il badge» si traduce con “se il cancello si apre, allora il badge è stato inserito”. Inserire il badge è necessario, e la frase non dice che basti. Se con un badge scaduto il cancello resta chiuso, la frase è comunque vera. La frase «Il cancello si apre se si inserisce il badge» si traduce invece con “se si inserisce il badge, allora il cancello si apre”, che è l’implicazione nel verso opposto.

La teoria continua con 7 altri paragrafi (condizione necessaria e sufficiente, tradurre le frasi in implicazioni, deduzioni valide…), oltre a tutte le schede svolte, le soluzioni e il PDF.

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