Insiemi e diagrammi di Venn

1. Insieme ed elemento

Un insieme è una collezione di oggetti per la quale, dato un oggetto qualsiasi, si può stabilire senza ambiguità se ne fa parte oppure no. Gli oggetti che ne fanno parte si chiamano elementi dell’insieme. Gli insiemi si indicano con lettere maiuscole come $A$, $B$, $C$. Per dire che $x$ è un elemento di $A$ si scrive $x\in A$ e si legge ”$x$ appartiene ad $A$”; per dire che non lo è si scrive $x\notin A$.

I giorni della settimana formano un insieme $G$, quindi martedì $\in G$ e gennaio $\notin G$. Le “città più belle d’Italia” non formano un insieme, perché non esiste un criterio condiviso per decidere se una città ne fa parte.

2. Elencazione e proprietà caratteristica

Un insieme si può descrivere in due modi.

• Per elencazione si scrivono i suoi elementi fra parentesi graffe, separati da virgole. L’insieme delle vocali è $V=\{a,e,i,o,u\}$.
• Per proprietà caratteristica si indica la proprietà che hanno tutti e soli i suoi elementi. L’insieme $P=\{x\mid x\text{ eˋ un numero pari compreso fra }1\text{ e }9\}$ si legge “l’insieme degli $x$ tali che $x$ è un numero pari compreso fra $1$ e $9$”.

Lo stesso insieme ammette le due descrizioni, poiché $P=\{2,4,6,8\}$. L’elencazione si usa quando gli elementi sono pochi, la proprietà quando sono molti, come per i multipli di $3$ minori di $1000$. In un elenco l’ordine non conta e un elemento ripetuto si conta una volta sola, perciò $\{1,2,3\}$ e $\{3,1,2,1\}$ sono lo stesso insieme.

3. Numero di elementi

Il numero di elementi di un insieme finito $A$ si indica con $|A|$. Per l’insieme delle vocali si ha $|V|=5$, e per l’insieme dei numeri pari fra $1$ e $9$ si ha $|P|=4$. I problemi di conteggio dei concorsi chiedono il numero di elementi di un insieme costruito a partire da altri, come il numero di dipendenti che parlano due lingue o il numero di studenti che non praticano nessuno sport.

1. Sottoinsieme

Un insieme $B$ è un sottoinsieme di $A$, e si scrive $B\subseteq A$, se ogni elemento di $B$ appartiene anche ad $A$. Si dice anche che $B$ è contenuto in $A$. L’insieme dei cani è contenuto nell’insieme dei mammiferi, perché ogni cane è un mammifero. L’insieme $\{2,4\}$ è contenuto in $\{1,2,3,4\}$; l’insieme $\{2,5\}$ invece non è contenuto in $\{1,2,3,4\}$, perché $5$ non vi appartiene.

L’inclusione traduce le frasi del tipo “tutti i … sono …”. La frase “tutti i cani sono mammiferi” afferma che l’insieme dei cani è contenuto in quello dei mammiferi; le frasi con “tutti”, “alcuni” e “nessuno” si studiano nell’argomento sui sillogismi.

2. Insieme vuoto

L’insieme vuoto è l’insieme che non ha elementi. Si indica con $\varnothing$, e $|\varnothing |=0$. È vuoto, per esempio, l’insieme dei mesi con $32$ giorni. L’insieme vuoto serve a esprimere che una zona di un diagramma non contiene nessun elemento, come la zona dei cani che non sono mammiferi.

3. Insieme universo

L’insieme universo, indicato con $U$, è l’insieme di tutti gli elementi di cui parla un problema; gli altri insiemi del problema sono suoi sottoinsiemi. In un quesito sui $40$ dipendenti di un ufficio l’insieme universo è formato dai $40$ dipendenti, e l’insieme dei dipendenti che parlano inglese è un suo sottoinsieme. Nei diagrammi l’insieme universo si disegna come un rettangolo, che contiene anche gli elementi che non appartengono a nessuno degli altri insiemi, come i dipendenti che non parlano nessuna lingua straniera.

4. Diagramma di Venn

Un diagramma di Venn rappresenta gli insiemi con linee chiuse, di solito cerchi, disegnate dentro il rettangolo dell’insieme universo. Ogni elemento si scrive nella zona che corrisponde agli insiemi a cui appartiene. Due cerchi che si sovrappongono dividono il rettangolo in quattro zone: gli elementi che stanno solo nel primo insieme, quelli che stanno in entrambi, quelli che stanno solo nel secondo e quelli che non stanno in nessuno dei due.

Si considerano $U=\{1,2,\dots ,10\}$, l’insieme $A$ dei numeri pari e l’insieme $B$ dei multipli di $3$. Il numero $6$ è pari ed è multiplo di $3$, quindi si scrive nella zona comune ai due cerchi. I numeri $1$, $5$ e $7$ non sono pari e non sono multipli di $3$, perciò si scrivono nel rettangolo, fuori da entrambi i cerchi.