Teoria

Ragionamento numerico: orologi, calendari, ordinamenti

Come si calcolano l'angolo tra le lancette, le ore segnate da un orologio che va avanti o indietro, le durate e i fusi orari, il giorno della settimana dopo un certo numero di giorni, le posizioni in una fila o in una classifica, le età relative, il numero minimo di estrazioni con il principio dei cassetti e le relazioni di parentela.

In questa pagina

Orologi e angolo tra le lancette
Orologi che vanno avanti o indietro

Orologi e angolo tra le lancette

1. Quadrante dell'orologio

Il quadrante di un orologio a lancette è un cerchio diviso in $12$ ore, e ogni ora è divisa in $5$ tacche da un minuto, per un totale di $60$ tacche. L’angolo giro misura $360°$ , quindi ogni ora del quadrante corrisponde a

\frac{360°}{12} = 30°

e ogni tacca dei minuti a $\dfrac{360°}{60} = 6°$ . Le posizioni delle lancette si misurano in gradi a partire dal $12$ , girando in senso orario.

La lancetta dei minuti compie un giro in $60$ minuti, perciò avanza di $6°$ al minuto.
La lancetta delle ore compie un giro in $12$ ore, perciò avanza di $30°$ all’ora. Poiché un’ora dura $60$ minuti, avanza di $\dfrac{30°}{60} = 0{,}5°$ al minuto.

Alle 3

la lancetta delle ore è a

90°

e quella dei minuti a

0°

. Venti minuti dopo la lancetta dei minuti è a

20 \cdot 6° = 120°

, mentre quella delle ore è salita a

90° + 20 \cdot 0{,}5° = 100°

2. Angolo tra le lancette

Alle ore $h$ e $m$ minuti, con $h$ contato da $0$ a $11$ sul quadrante, la lancetta delle ore si trova a $30h + 0{,}5m$ gradi e quella dei minuti a $6m$ gradi. L’angolo tra le lancette è quindi

\alpha = \left| \, 30h - 5{,}5\,m \, \right| .

Se $\alpha$ supera $180°$ , l’angolo minore tra le lancette è $360° - \alpha$ . La formula serve a rispondere ai quesiti del tipo “quale angolo formano le lancette alle …” senza disegnare l’orologio. Alle 15

si usa

h = 3

, perché le 15 corrispondono al

3

del quadrante, e si ottiene

\alpha = |90 - 220| = 130°

Alle 15:40 la lancetta delle ore è a

90° + 40 \cdot 0, 5° = 110°

dal

12

e quella dei minuti a

40 \cdot 6° = 240°

, quindi le due lancette formano un angolo di

130°

Dimostrazione

In $h$ ore e $m$ minuti la lancetta delle ore percorre $30h$ gradi per le ore intere e $0{,}5m$ gradi per i minuti, mentre la lancetta dei minuti percorre $6m$ gradi. La differenza tra le due posizioni è $30h + 0{,}5m - 6m = 30h - 5{,}5m$ , e l’angolo è il suo valore assoluto.

Attenzione

Negli orari con i minuti la lancetta delle ore non si trova esattamente sul numero dell’ora. Alle 3

l’angolo tra le lancette è

|90 - 165| = 75°

, perché la lancetta delle ore è a metà strada tra il

3

e il

4

. Chi la lascia sul

3

ottiene

90°

, che è l’angolo delle 3

e compare spesso tra le opzioni.

Lancette sovrapposte

La lancetta dei minuti percorre $6°$ al minuto e quella delle ore $0{,}5°$ , quindi la prima guadagna sulla seconda $5{,}5°$ al minuto. Dopo una sovrapposizione, la successiva si ha quando la lancetta dei minuti ha guadagnato un giro intero, cioè dopo

\frac{360}{5{,}5} = \frac{720}{11} = 65 + \frac{5}{11} \ \text{minuti}.

Perciò le lancette si sovrappongono $11$ volte in $12$ ore e $22$ volte in un giorno. Dopo mezzogiorno la prima sovrapposizione cade poco dopo le 13

, e nessuna cade tra le 11

e le 12

Orologi che vanno avanti o indietro

1. Orologio che va avanti o indietro

Un orologio va avanti di $a$ minuti all’ora se, mentre passa un’ora reale, le sue lancette percorrono $60 + a$ minuti; va indietro di $a$ minuti all’ora se ne percorrono $60 - a$ . Nei quesiti l’orologio avanza in modo costante, quindi l’errore accumulato è proporzionale al tempo trascorso. Un orologio regolato alle 8

che va avanti di

3

minuti all’ora, alle 14

reali ha accumulato

6 \cdot 3 = 18

minuti di anticipo, perciò segna le 14

Risalire all'ora vera

Un orologio regolato alle 9

va avanti di

4

minuti all’ora e ora segna le 12

. Ogni ora reale corrisponde a

64

minuti sull’orologio. Dalle 9

l’orologio ha segnato

192

minuti, quindi le ore reali trascorse sono

\frac{192}{64} = 3 ,

e l’ora vera è le 12

. Chi toglie

4

minuti per ogni ora segnata sull’orologio, cioè

3{,}2 \cdot 4 = 12{,}8

minuti, ottiene un risultato vicino ma diverso. Per il calcolo esatto si divide il tempo segnato per i minuti che l’orologio percorre in un’ora reale.

2. Quando un orologio segna di nuovo l'ora esatta

Un orologio a lancette che va avanti o indietro in modo costante segna di nuovo l’ora esatta quando l’errore accumulato è di $12$ ore, cioè di $720$ minuti, perché il quadrante mostra le stesse posizioni ogni $12$ ore. Un orologio che ritarda di $2$ minuti al giorno torna a segnare l’ora esatta dopo

\frac{720}{2} = 360 \ \text{giorni}.

Per un orologio digitale che mostra le ore da 00

a 23

l’errore accumulato deve invece arrivare a

24

ore, cioè

1440

minuti. Un orologio fermo è il caso limite. Le sue lancette mostrano sempre la stessa ora, che è esatta due volte al giorno.

La teoria continua con 7 altri paragrafi (durate mezzanotte e fusi orari, calendari mesi e anni bisestili, giorno della settimana dopo n giorni…), oltre a tutte le schede svolte, le soluzioni e il PDF.

Sblocca ora