Esercizi svolti · Scheda 6

Stime con il principio di indeterminazione

Teoria usata: Principio di indeterminazione per posizione e quantità di moto Principio di indeterminazione per energia e tempo Raggi e velocità delle orbite di Bohr

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Esercizio 1

Un elettrone è confinato in una regione di larghezza $\Delta x = 0{,}50\,\mathrm{nm}$ . Calcola l’incertezza minima sulla sua quantità di moto e sulla sua velocità. Ripeti il calcolo per un granello di polvere di massa $1{,}0 \cdot 10^{-9}\,\mathrm{kg}$ con la stessa incertezza sulla posizione. Usa $m_e = 9{,}11 \cdot 10^{-31}\,\mathrm{kg}$ e $h = 6{,}63 \cdot 10^{-34}\,\mathrm{J\cdot s}$ .

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Esercizio 2

La velocità di un elettrone vale $v = 3{,}00 \cdot 10^{5}\,\mathrm{m/s}$ ed è misurata con un’incertezza dello $0{,}10\%$ . Calcola l’incertezza minima con cui si può conoscere, nello stesso istante, la posizione dell’elettrone lungo la direzione del moto. Usa $m_e = 9{,}11 \cdot 10^{-31}\,\mathrm{kg}$ e $h = 6{,}63 \cdot 10^{-34}\,\mathrm{J\cdot s}$ .

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Esercizio 3

Un protone si trova in un nucleo, cioè in una regione di larghezza $\Delta x = 5{,}0 \cdot 10^{-15}\,\mathrm{m}$ . Stima l’incertezza minima sulla sua quantità di moto e assumi che la quantità di moto del protone sia dello stesso ordine di grandezza di questa incertezza. Stima la velocità e l’energia cinetica del protone, in $\mathrm{MeV}$ , e verifica che l’uso della meccanica classica è giustificato. Usa $m_p = 1{,}67 \cdot 10^{-27}\,\mathrm{kg}$ , $h = 6{,}63 \cdot 10^{-34}\,\mathrm{J\cdot s}$ , $c = 3{,}00 \cdot 10^{8}\,\mathrm{m/s}$ e $1\,\mathrm{eV} = 1{,}60 \cdot 10^{-19}\,\mathrm{J}$ .

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Esercizio 4

Lo stato eccitato $n = 3$ dell’atomo di idrogeno ha una vita media di circa $\Delta t = 5{,}0 \cdot 10^{-9}\,\mathrm{s}$ . Stima l’incertezza minima sull’energia di questo livello, in elettronvolt, e la corrispondente incertezza sulla frequenza dei fotoni emessi nella transizione $3 \to 2$ . Confronta il risultato con la frequenza della riga $\mathrm{H}_\alpha$ , di lunghezza d’onda $656{,}3\,\mathrm{nm}$ . Usa $h = 6{,}63 \cdot 10^{-34}\,\mathrm{J\cdot s}$ , $c = 3{,}00 \cdot 10^{8}\,\mathrm{m/s}$ e $1\,\mathrm{eV} = 1{,}60 \cdot 10^{-19}\,\mathrm{J}$ .

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