Teoria

Equazioni di Maxwell e onde elettromagnetiche

Come un campo magnetico variabile genera un campo elettrico e un campo elettrico variabile genera un campo magnetico, quali sono le quattro equazioni di Maxwell, come sono fatte le onde elettromagnetiche e quanta energia, intensità e quantità di moto trasportano, fino alla polarizzazione e allo spettro elettromagnetico.

In questa pagina

Campo elettrico indotto
Corrente di spostamento

Campo elettrico indotto

In una spira ferma, posta in un campo magnetico che varia nel tempo, gli elettroni del filo si mettono in moto. La forza di Lorentz $q\,\vec{v} \times \vec{B}$ è nulla su cariche inizialmente ferme, quindi la forza che le mette in moto è una forza elettrica. Il campo elettrico che produce questa forza si chiama campo elettrico indotto. Esso esiste in tutto lo spazio in cui il flusso magnetico varia, anche dove non ci sono conduttori, e la spira serve soltanto a rivelarlo con una corrente.

Il lavoro che il campo indotto compie su una carica unitaria lungo un giro completo della spira è la f.e.m. indotta, quindi $\mathcal{E} = \Gamma(\vec{E})$ lungo il filo.

Legge di Faraday-Neumann per il campo elettrico

Per ogni linea chiusa orientata $\gamma$ , ferma, vale

\Gamma(\vec{E}) = -\frac{d\Phi(\vec{B})}{dt} ,

dove $\Phi(\vec{B})$ è il flusso magnetico attraverso una superficie che ha $\gamma$ come bordo, con il verso di $\Delta\vec{S}$ dato dalla regola della mano destra rispetto al verso di percorrenza di $\gamma$ . È una legge sperimentale, che Maxwell estese dalla spira conduttrice a una linea chiusa qualsiasi.

La legge permette di calcolare il campo elettrico indotto quando la situazione è simmetrica. Se un campo magnetico uniforme, perpendicolare a un cerchio di raggio $r = 10\,\mathrm{cm}$ , cresce con rapidità $0{,}20\,\mathrm{T/s}$ , la circuitazione del campo indotto lungo la circonferenza ha modulo

|\Gamma(\vec{E})| = \pi r^2 \cdot 0{,}20\,\mathrm{T/s} = \pi \cdot (0{,}10\,\mathrm{m})^2 \cdot 0{,}20\,\mathrm{T/s} \approx 6{,}3 \cdot 10^{-3}\,\mathrm{V} .

Attenzione

Il campo elettrostatico prodotto da cariche ferme ha circuitazione nulla lungo ogni linea chiusa, e per questo è conservativo e ammette il potenziale elettrico. Il campo elettrico indotto ha invece circuitazione diversa da zero, quindi non è conservativo, e per esso il potenziale non è definito. Con $r = 10\,\mathrm{cm}$ e $0{,}20\,\mathrm{T/s}$ un elettrone che percorre una volta la circonferenza riceve dal campo indotto il lavoro $e\,|\Gamma(\vec{E})| = 1{,}60 \cdot 10^{-19}\,\mathrm{C} \cdot 6{,}3 \cdot 10^{-3}\,\mathrm{V} \approx 1{,}0 \cdot 10^{-21}\,\mathrm{J}$ , e a ogni giro successivo riceve di nuovo lo stesso lavoro, pur tornando nel punto di partenza.

Campo elettrico indotto da un solenoide

Un solenoide rettilineo molto lungo ha raggio $a$ , e al suo interno il campo magnetico è uniforme, parallelo all’asse, e varia con rapidità $\dfrac{dB}{dt}$ ; all’esterno il campo magnetico è nullo. Per la simmetria del solenoide le linee del campo indotto sono circonferenze coassiali, e su ciascuna di esse $\vec{E}$ è tangente e ha modulo costante. Si applica la legge di Faraday-Neumann a una circonferenza di raggio $r$ :

se $r \leq a$ , il flusso è $\pi r^2 B$ , quindi $2\pi r\,E = \pi r^2 \left| \dfrac{dB}{dt} \right|$ e $E = \dfrac{r}{2} \left| \dfrac{dB}{dt} \right|$ ;
se $r \geq a$ , il flusso è $\pi a^2 B$ , perché fuori dal solenoide $B = 0$ , quindi $E = \dfrac{a^2}{2r} \left| \dfrac{dB}{dt} \right|$ .

Con $a = 3{,}0\,\mathrm{cm}$ e $\left| \dfrac{dB}{dt} \right| = 0{,}40\,\mathrm{T/s}$ , alla distanza $r = 2{,}0\,\mathrm{cm}$ dall’asse il campo vale $E = 0{,}010\,\mathrm{m} \cdot 0{,}40\,\mathrm{T/s} = 4{,}0 \cdot 10^{-3}\,\mathrm{V/m}$ , e alla distanza $r = 6{,}0\,\mathrm{cm}$ vale $E = \dfrac{(0{,}030\,\mathrm{m})^2}{0{,}12\,\mathrm{m}} \cdot 0{,}40\,\mathrm{T/s} = 3{,}0 \cdot 10^{-3}\,\mathrm{V/m}$ . Il campo indotto è diverso da zero anche fuori dal solenoide, dove il campo magnetico è nullo. Se $\vec{B}$ esce dal foglio e cresce, per la legge di Lenz le linee di $\vec{E}$ sono percorse in verso orario.

Sezione del solenoide vista dall'alto: il campo

B

esce dal foglio e cresce, e le linee del campo elettrico indotto sono circonferenze coassiali percorse in verso orario, dentro e fuori dal solenoide

Corrente di spostamento

Teorema di Ampère e condensatore che si carica

Un condensatore piano si carica attraverso un filo percorso dalla corrente $i$ . Si sceglie una circonferenza $\gamma$ attorno al filo e due superfici che hanno $\gamma$ come bordo. La superficie piana $S_1$ è attraversata dal filo, quindi la corrente concatenata è $i$ . La superficie $S_2$ , a forma di sacchetto, passa invece tra le armature, dove non ci sono cariche in moto, quindi la corrente che la attraversa è nulla. Con le due superfici il teorema di Ampère darebbe due valori diversi della stessa circuitazione $\Gamma(\vec{B})$ , perciò nella forma del richiamo esso non si applica a correnti che variano.

Tra le armature c’è però un campo elettrico che cresce mentre il condensatore si carica, e il suo flusso attraverso $S_2$ aumenta. Maxwell completò il teorema di Ampère con un termine che contiene la rapidità di variazione di questo flusso.

Condensatore che si carica: la superficie piana

S_{1}

è attraversata dalla corrente

i

, mentre la superficie

S_{2}

, con lo stesso bordo

γ

, passa tra le armature, dove non ci sono cariche in moto

La corrente di spostamento attraverso una superficie è

i_s = \varepsilon_0 \frac{d\Phi(\vec{E})}{dt} ,

dove $\Phi(\vec{E})$ è il flusso del campo elettrico attraverso la superficie. Si misura in ampere, perché $\varepsilon_0 \Phi(\vec{E})$ si misura in $\mathrm{C^2/(N\cdot m^2)} \cdot \mathrm{N\cdot m^2/C} = \mathrm{C}$ , e quindi la sua derivata rispetto al tempo si misura in $\mathrm{C/s} = \mathrm{A}$ . A differenza della corrente di conduzione, la corrente di spostamento non corrisponde a un moto di cariche, perché è dovuta soltanto al campo elettrico che varia. Se il campo uniforme tra due armature di area $S = 0{,}025\,\mathrm{m^2}$ cresce con rapidità $\dfrac{dE}{dt} = 2{,}0 \cdot 10^{12}\,\mathrm{V/(m\cdot s)}$ , il flusso è $E S$ e la corrente di spostamento è

i_s = \varepsilon_0 S \frac{dE}{dt} = 8{,}85 \cdot 10^{-12} \cdot 0{,}025 \cdot 2{,}0 \cdot 10^{12}\,\mathrm{A} \approx 0{,}44\,\mathrm{A} .

Corrente di spostamento in un condensatore piano

Un condensatore piano nel vuoto ha armature di area $S$ e si carica con la corrente $i = \dfrac{dq}{dt}$ , dove $q$ è la carica dell’armatura positiva. Trascurando gli effetti di bordo, tra le armature il campo è uniforme e vale $E = \dfrac{\sigma}{\varepsilon_0} = \dfrac{q}{\varepsilon_0 S}$ . Il flusso attraverso una superficie parallela alle armature e compresa tra esse è perciò

\Phi(\vec{E}) = E S = \frac{q}{\varepsilon_0} , \qquad \text{quindi} \qquad i_s = \varepsilon_0 \frac{d\Phi(\vec{E})}{dt} = \frac{dq}{dt} = i .

La corrente di spostamento tra le armature è uguale alla corrente nei fili, e prosegue la corrente di conduzione dove questa si interrompe. Con $i = 0{,}50\,\mathrm{A}$ e $S = 0{,}010\,\mathrm{m^2}$ il campo tra le armature cresce con rapidità $\dfrac{dE}{dt} = \dfrac{i}{\varepsilon_0 S} = \dfrac{0{,}50}{8{,}85 \cdot 10^{-12} \cdot 0{,}010}\,\mathrm{V/(m\cdot s)} \approx 5{,}6 \cdot 10^{12}\,\mathrm{V/(m\cdot s)}$ .

Legge di Ampère-Maxwell

Per ogni linea chiusa orientata $\gamma$ e per ogni superficie che ha $\gamma$ come bordo, orientata con la regola della mano destra, vale

\Gamma(\vec{B}) = \mu_0 \left( i_{\text{conc}} + i_s \right) = \mu_0\, i_{\text{conc}} + \mu_0 \varepsilon_0 \frac{d\Phi(\vec{E})}{dt} ,

dove $i_{\text{conc}}$ è la corrente di conduzione che attraversa la superficie e $\Phi(\vec{E})$ è il flusso del campo elettrico attraverso la stessa superficie. È un postulato di Maxwell, confermato dalla scoperta sperimentale delle onde elettromagnetiche.

La legge afferma che il campo magnetico è generato dalle correnti e anche dai campi elettrici che variano nel tempo. Con correnti costanti il flusso $\Phi(\vec{E})$ non varia e si ritrova il teorema di Ampère. In un condensatore che si carica con $i = 0{,}50\,\mathrm{A}$ la circuitazione lungo $\gamma$ vale $\mu_0 i = 4\pi \cdot 10^{-7} \cdot 0{,}50\,\mathrm{T\cdot m} \approx 6{,}3 \cdot 10^{-7}\,\mathrm{T\cdot m}$ sia con la superficie $S_1$ , attraversata dalla corrente di conduzione, sia con la superficie $S_2$ , attraversata dalla corrente di spostamento.

Campo magnetico tra le armature di un condensatore

Un condensatore piano con armature circolari di raggio $R$ si carica con la corrente $i$ . Tra le armature il campo elettrico è uniforme, e la rapidità con cui cresce si ricava come nel condensatore piano dell’esempio sulla corrente di spostamento, con $S = \pi R^2$ , cioè $\dfrac{dE}{dt} = \dfrac{i}{\varepsilon_0 \pi R^2}$ . Per simmetria le linee di $\vec{B}$ sono circonferenze coassiali con le armature. Si applica la legge di Ampère-Maxwell a una circonferenza di raggio $r$ parallela alle armature e compresa tra esse; il cerchio che essa delimita non è attraversato da correnti di conduzione.

Se $r \leq R$ , il flusso è $\Phi(\vec{E}) = E\,\pi r^2$ , quindi $2\pi r\,B = \mu_0 \varepsilon_0\,\pi r^2 \dfrac{i}{\varepsilon_0 \pi R^2}$ e $B = \dfrac{\mu_0\, i\, r}{2\pi R^2}$ .
Se $r \geq R$ , il campo elettrico fuori dalle armature è nullo, quindi $\Phi(\vec{E}) = E\,\pi R^2$ e $B = \dfrac{\mu_0\, i}{2\pi r}$ , come per un filo rettilineo.

Con $R = 4{,}0\,\mathrm{cm}$ e $i = 1{,}0\,\mathrm{A}$ il campo sul bordo delle armature vale $B = \dfrac{4\pi \cdot 10^{-7} \cdot 1{,}0}{2\pi \cdot 0{,}040}\,\mathrm{T} = 5{,}0 \cdot 10^{-6}\,\mathrm{T}$ .

Campo magnetico in

μ T

in funzione della distanza

r

dall'asse in

cm

, per

R = 4, 0 cm

i = 1, 0 A

: cresce in modo lineare fino al bordo delle armature, poi diminuisce come

\frac{1}{r}

Fine dell’anteprima gratuita

La teoria di questo argomento continua con altri 7 paragrafi

Equazioni di Maxwell
Onde elettromagnetiche
Onde piane sinusoidali
Energia e intensità
Quantità di moto e pressione di radiazione
Polarizzazione
Spettro elettromagnetico

Nell’accesso completo si trovano anche le altre 5 schede svolte di questo argomento e le soluzioni dei 14 esercizi da fare.

Sblocca Fisica 5° anno · 29 €

Le prime 3 schede svolte di questo argomento sono gratuite e si trovano negli esercizi svolti.