Esercizi svolti · Scheda 7

Particella in una scatola unidimensionale

Teoria usata: Livelli di energia di una particella in una scatola Funzione d'onda Ipotesi di de Broglie Principio di indeterminazione per posizione e quantità di moto

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Esercizio 1

Un elettrone è confinato in una scatola unidimensionale di larghezza $L = 0{,}40\,\mathrm{nm}$ . Calcola le energie dei primi tre livelli, in elettronvolt, e la lunghezza d’onda del fotone emesso nella transizione dal livello $n = 2$ al livello $n = 1$ . Usa $m_e = 9{,}11 \cdot 10^{-31}\,\mathrm{kg}$ , $h = 6{,}63 \cdot 10^{-34}\,\mathrm{J\cdot s}$ , $c = 3{,}00 \cdot 10^{8}\,\mathrm{m/s}$ e $1\,\mathrm{eV} = 1{,}60 \cdot 10^{-19}\,\mathrm{J}$ .

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Esercizio 2

Un elettrone in una scatola unidimensionale, passando dal livello $n = 2$ al livello $n = 1$ , emette un fotone di lunghezza d’onda $\lambda = 500\,\mathrm{nm}$ . Determina la larghezza $L$ della scatola. Usa $m_e = 9{,}11 \cdot 10^{-31}\,\mathrm{kg}$ , $h = 6{,}63 \cdot 10^{-34}\,\mathrm{J\cdot s}$ e $c = 3{,}00 \cdot 10^{8}\,\mathrm{m/s}$ .

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Esercizio 3

Un protone è confinato in una regione di larghezza $L = 1{,}0 \cdot 10^{-14}\,\mathrm{m}$ , simile alle dimensioni di un nucleo, che si descrive come una scatola unidimensionale. Calcola l’energia del livello più basso, in $\mathrm{MeV}$ , e la lunghezza d’onda del fotone emesso nella transizione dal livello $n = 2$ al livello $n = 1$ . Indica a quale banda dello spettro appartiene il fotone. Usa $m_p = 1{,}67 \cdot 10^{-27}\,\mathrm{kg}$ , $h = 6{,}63 \cdot 10^{-34}\,\mathrm{J\cdot s}$ , $c = 3{,}00 \cdot 10^{8}\,\mathrm{m/s}$ e $1\,\mathrm{eV} = 1{,}60 \cdot 10^{-19}\,\mathrm{J}$ .

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Esercizio 4

Una pallina di massa $m = 0{,}10\,\mathrm{kg}$ si muove avanti e indietro tra due pareti distanti $L = 1{,}0\,\mathrm{m}$ , con velocità $v = 1{,}0\,\mathrm{m/s}$ . Descrivi il sistema come una particella in una scatola. Calcola l’energia del livello più basso, il numero quantico $n$ che corrisponde all’energia cinetica della pallina e la differenza di energia tra quel livello e il successivo, e spiega perché la quantizzazione dell’energia non si osserva. Usa $h = 6{,}63 \cdot 10^{-34}\,\mathrm{J\cdot s}$ .

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