Esercizi svolti · Scheda 2

Integrali di funzioni composte

Teoria usata: Integrali di funzioni composte Linearità dell'integrale indefinito Integrale indefinito

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Esercizio 1

Calcola $\displaystyle\int 4x \left( x^2 - 1 \right)^3 dx$ .

g(x) = x^2 - 1, \qquad g'(x) = 2x, \qquad 4x = 2 \cdot 2x

\begin{aligned} \int 4x \left( x^2 - 1 \right)^3 dx &= 2 \int \left( x^2 - 1 \right)^3 \cdot 2x\,dx \\[6pt] &= 2 \cdot \frac{\left( x^2 - 1 \right)^4}{4} + c \\[6pt] &= \frac{\left( x^2 - 1 \right)^4}{2} + c \end{aligned}

La funzione integranda contiene la potenza di $g(x) = x^2 - 1$ , e il fattore $4x$ è un multiplo della derivata $g'(x) = 2x$ . Si scrive $4x = 2 \cdot 2x$ e la costante $2$ si porta fuori dall’integrale per la linearità. Resta l’integrale di $g(x)^3 \cdot g'(x)$ , che per la formula delle potenze di una funzione composta è $\dfrac{g(x)^4}{4} + c$ .

Il controllo si esegue derivando. La derivata di $\dfrac{\left( x^2 - 1 \right)^4}{2}$ è $\dfrac{4 \left( x^2 - 1 \right)^3 \cdot 2x}{2} = 4x \left( x^2 - 1 \right)^3$ , cioè la funzione integranda. Sviluppare il cubo e integrare il polinomio porterebbe allo stesso risultato, a meno della costante, con un calcolo più lungo.

Esercizio 2

Calcola $\displaystyle\int \frac{x^2}{x^3 + 8}\,dx$ , per $x \neq -2$ .

g(x) = x^3 + 8, \qquad g'(x) = 3x^2

\int \frac{x^2}{x^3 + 8}\,dx = \frac{1}{3} \int \frac{3x^2}{x^3 + 8}\,dx = \frac{1}{3} \ln \left\lvert x^3 + 8 \right\rvert + c

Il numeratore $x^2$ è la derivata del denominatore $x^3 + 8$ a meno del fattore $3$ . Si moltiplica il numeratore per $3$ e si divide l’integrale per $3$ , così che il valore dell’espressione resti invariato. L’integrale che si ottiene ha la forma $\displaystyle\int \dfrac{g'(x)}{g(x)}\,dx$ , quindi vale $\ln \lvert g(x) \rvert + c$ .

Il valore assoluto è necessario, perché $x^3 + 8$ è negativo per $x < -2$ . Il punto $x = -2$ è escluso, perché in quel punto il denominatore si annulla.

Esercizio 3

Calcola $\displaystyle\int \frac{(\ln x)^2}{x}\,dx$ , per $x > 0$ .

g(x) = \ln x, \qquad g'(x) = \frac{1}{x}

\int \frac{(\ln x)^2}{x}\,dx = \int (\ln x)^2 \cdot \frac{1}{x}\,dx = \frac{(\ln x)^3}{3} + c

La frazione si riscrive come prodotto di $(\ln x)^2$ per $\dfrac{1}{x}$ . Il fattore $\dfrac{1}{x}$ è la derivata di $\ln x$ , quindi l’integrale ha la forma $\displaystyle\int g(x)^2 \cdot g'(x)\,dx$ con $g(x) = \ln x$ . Per la formula delle potenze di una funzione composta il risultato è $\dfrac{(\ln x)^3}{3} + c$ .

Per controllo, la derivata di $\dfrac{(\ln x)^3}{3}$ è $\dfrac{3 (\ln x)^2}{3} \cdot \dfrac{1}{x} = \dfrac{(\ln x)^2}{x}$ , per la regola della funzione composta.

Esercizio 4

Calcola $\displaystyle\int \frac{x}{\sqrt{1 - x^4}}\,dx$ , per $-1 < x < 1$ .

x^4 = \left( x^2 \right)^2, \qquad g(x) = x^2, \qquad g'(x) = 2x

\int \frac{x}{\sqrt{1 - x^4}}\,dx = \frac{1}{2} \int \frac{2x}{\sqrt{1 - \left( x^2 \right)^2}}\,dx = \frac{1}{2} \arcsin \left( x^2 \right) + c

La radice $\sqrt{1 - x^4}$ ha la stessa forma del denominatore della derivata dell’arcoseno, $\dfrac{1}{\sqrt{1 - t^2}}$ , perché $x^4$ è il quadrato di $x^2$ . Si sceglie quindi $g(x) = x^2$ , la cui derivata è $2x$ . Il numeratore $x$ è la metà di $2x$ , perciò si moltiplica e si divide per $2$ .

L’integrale ottenuto ha la forma $\displaystyle\int \dfrac{g'(x)}{\sqrt{1 - g(x)^2}}\,dx$ , che vale $\arcsin g(x) + c$ . Il risultato è quindi $\dfrac{1}{2} \arcsin \left( x^2 \right) + c$ . La condizione $-1 < x < 1$ garantisce $x^4 < 1$ , cioè che il radicando sia positivo.