Esercizi svolti · Scheda 2

Classificazione dei punti di discontinuità

Teoria usata: Punto di discontinuità Discontinuità di prima specie Discontinuità di seconda specie Discontinuità di terza specie o eliminabile Dove si cercano i punti di discontinuità

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Esercizio 1

Determina e classifica i punti di discontinuità della funzione $f(x) = \dfrac{x^2 - 1}{x^2 - x}$ .

x^2 - x = x\,(x - 1) = 0 \iff x = 0 \quad \text{oppure} \quad x = 1, \qquad D = \mathbb{R} \setminus \{0, 1\}

f(x) = \frac{(x - 1)(x + 1)}{x\,(x - 1)} = \frac{x + 1}{x} \qquad \text{per } x \in D

\lim_{x \to 1} f(x) = \lim_{x \to 1} \frac{x + 1}{x} = 2

\lim_{x \to 0^-} \frac{x + 1}{x} = -\infty, \qquad \lim_{x \to 0^+} \frac{x + 1}{x} = +\infty

Il punto $x = 1$ è una discontinuità di terza specie, eliminabile ponendo $f(1) = 2$ ; il punto $x = 0$ è una discontinuità di seconda specie.

y = \dfrac{x^2 - 1}{x^2 - x}

Il grafico di

\frac{x ^{2} - 1}{x ^{2} - x}

è privo del punto

(1, 2)

, dove la discontinuità è eliminabile, e ha l'asintoto verticale

x = 0

La funzione è razionale fratta, quindi è continua nel suo dominio. I punti di discontinuità si cercano tra gli zeri del denominatore, che sono $0$ e $1$ . Per calcolare i limiti si scompongono numeratore e denominatore; il numeratore è una differenza di quadrati e il denominatore si scompone raccogliendo $x$ . Il fattore comune $x - 1$ si semplifica, perché nei punti del dominio è diverso da $0$ .

In $1$ la funzione semplificata $\dfrac{x + 1}{x}$ è continua, quindi il limite si calcola per sostituzione e vale $2$ . Il limite è finito ma la funzione non è definita in $1$ , perciò il punto è una discontinuità di terza specie.

In $0$ il numeratore $x + 1$ tende a $1$ e il denominatore tende a $0$ , con valori negativi a sinistra e positivi a destra. I due limiti sono infiniti, quindi il punto $0$ è una discontinuità di seconda specie.

Esercizio 2

Classifica il punto di discontinuità della funzione $f(x) = \dfrac{x^2 - 2x}{|x - 2|}$ .

D = \mathbb{R} \setminus \{2\}, \qquad f(x) = \frac{x\,(x - 2)}{|x - 2|}

f(x) = \begin{cases} -x & \text{se } x < 2 \\ x & \text{se } x > 2 \end{cases}

\lim_{x \to 2^-} f(x) = \lim_{x \to 2^-} (-x) = -2, \qquad \lim_{x \to 2^+} f(x) = \lim_{x \to 2^+} x = 2

Il punto $x = 2$ è una discontinuità di prima specie con salto $|2 - (-2)| = 4$ .

Il denominatore si annulla solo per $x = 2$ , quindi l’unico punto da studiare è $2$ . Il valore assoluto $|x - 2|$ vale $x - 2$ per $x > 2$ e $-(x - 2)$ per $x < 2$ . Per $x > 2$ il fattore $x - 2$ si semplifica e resta $x$ ; per $x < 2$ la semplificazione lascia il segno meno, e resta $-x$ .

Il limite sinistro si calcola con $-x$ e vale $-2$ , il limite destro si calcola con $x$ e vale $2$ . I due limiti sono finiti e diversi, quindi il punto $2$ è una discontinuità di prima specie, e il salto è la distanza tra i due limiti, cioè $4$ .

Esercizio 3

Classifica il punto di discontinuità della funzione $f(x) = e^{\frac{1}{x - 1}}$ .

D = \mathbb{R} \setminus \{1\}

x \to 1^+ \quad \Longrightarrow \quad \frac{1}{x - 1} \to +\infty \quad \Longrightarrow \quad e^{\frac{1}{x - 1}} \to +\infty

x \to 1^- \quad \Longrightarrow \quad \frac{1}{x - 1} \to -\infty \quad \Longrightarrow \quad e^{\frac{1}{x - 1}} \to 0

Il punto $x = 1$ è una discontinuità di seconda specie.

L’esponente $\dfrac{1}{x - 1}$ non è definito per $x = 1$ , quindi il punto da studiare è $1$ . Il limite si calcola in due tempi: prima il limite dell’esponente, poi quello dell’esponenziale.

Per $x \to 1^+$ il denominatore $x - 1$ tende a $0$ con valori positivi, quindi l’esponente tende a $+\infty$ , e l’esponenziale di base $e > 1$ tende a $+\infty$ . Per $x \to 1^-$ il denominatore è negativo, l’esponente tende a $-\infty$ e l’esponenziale tende a $0$ . Il limite sinistro è finito, ma il limite destro è infinito, perciò il punto $1$ è una discontinuità di seconda specie. Basta infatti che uno dei due limiti sia infinito.

Esercizio 4

Determina e classifica i punti di discontinuità della funzione $f(x) = \dfrac{\sin x}{x^2 + 3x}$ . Dove possibile, elimina la discontinuità prolungando la funzione per continuità.

x^2 + 3x = x\,(x + 3) = 0 \iff x = 0 \quad \text{oppure} \quad x = -3

\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x\,(x + 3)} = \lim_{x \to 0} \left( \frac{\sin x}{x} \cdot \frac{1}{x + 3} \right) = 1 \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{3}

\sin(-3) \approx -0{,}14, \qquad \lim_{x \to -3^-} f(x) = -\infty, \qquad \lim_{x \to -3^+} f(x) = +\infty

g(x) = \begin{cases} \dfrac{\sin x}{x^2 + 3x} & \text{se } x \neq 0, \ x \neq -3 \\[8pt] \dfrac{1}{3} & \text{se } x = 0 \end{cases}

Il punto $x = 0$ è una discontinuità di terza specie, eliminata dalla funzione $g$ ; il punto $x = -3$ è una discontinuità di seconda specie.

Il denominatore si annulla in $0$ e in $-3$ . In $0$ il limite si presenta nella forma $\dfrac{0}{0}$ , perché anche $\sin 0 = 0$ . Si scrive la frazione come prodotto di $\dfrac{\sin x}{x}$ , che tende a $1$ per il limite notevole, e di $\dfrac{1}{x + 3}$ , che tende a $\dfrac{1}{3}$ . Il limite è finito, quindi $0$ è una discontinuità di terza specie. La funzione $g$ , uguale a $f$ fuori da $0$ e uguale a $\dfrac{1}{3}$ in $0$ , è continua in $0$ .

In $-3$ il numeratore tende a $\sin(-3)$ , che è un numero negativo perché $-3$ radianti è compreso tra $-\pi$ e $-\dfrac{\pi}{2}$ . Il denominatore $x\,(x + 3)$ tende a $0$ . Per $x$ vicino a $-3$ il fattore $x$ è negativo, mentre $x + 3$ è positivo a destra di $-3$ e negativo a sinistra. Quindi il denominatore è negativo a destra e positivo a sinistra, e il quoziente tende a $+\infty$ da destra e a $-\infty$ da sinistra. I limiti sono infiniti, perciò $-3$ è una discontinuità di seconda specie.