Esercizi svolti · Scheda 3

Evento contrario e probabilità di almeno un successo

Teoria usata: Probabilità dell'evento contrario Regola del prodotto per eventi indipendenti Monete e dadi

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Esercizio 1

Si lancia $3$ volte una moneta regolare. La probabilità di ottenere almeno una croce è:

A) $\dfrac{1}{8}$
B) $\dfrac{3}{8}$
C) $\dfrac{7}{8}$
D) $\dfrac{1}{2}$
E) $\dfrac{3}{4}$

P(\text{nessuna croce}) = P(TTT) = \frac{1}{2^3} = \frac{1}{8}

P(\text{almeno una croce}) = 1 - \frac{1}{8} = \frac{7}{8}

L’evento contrario di “almeno una croce” è “nessuna croce”, cioè la sola sequenza $TTT$ tra le $2^3 = 8$ sequenze equiprobabili. Per la probabilità dell’evento contrario si sottrae $\dfrac{1}{8}$ da $1$ e si ottiene $\dfrac{7}{8}$ . L’opzione A è la probabilità dell’evento contrario, e l’opzione B è la probabilità di ottenere esattamente una croce. La risposta corretta è la C.

Esercizio 2

Si lanciano due dadi non truccati a sei facce. La probabilità che i due numeri usciti siano diversi è:

A) $\dfrac{5}{6}$
B) $\dfrac{1}{6}$
C) $\dfrac{35}{36}$
D) $\dfrac{2}{3}$
E) $\dfrac{11}{12}$

\text{numeri uguali}:\ (1,1),\ (2,2),\ \ldots,\ (6,6) \quad (6 \text{ casi su } 36)

P(\text{numeri diversi}) = 1 - \frac{6}{36} = \frac{30}{36} = \frac{5}{6}

L’evento contrario di “numeri diversi” è “numeri uguali”, che ha $6$ casi favorevoli sulle $36$ coppie ordinate. Quindi la probabilità che i numeri siano uguali è $\dfrac{1}{6}$ , e per la probabilità dell’evento contrario quella che siano diversi è $\dfrac{5}{6}$ . Lo stesso risultato si ottiene osservando che, qualunque sia il primo numero, il secondo dado deve mostrare uno degli altri $5$ numeri. L’opzione C toglie da $36$ un solo caso, come se i numeri uguali fossero soltanto la coppia $(6, 6)$ . La risposta corretta è la A.

Esercizio 3

Un impiegato controlla tre pratiche. Ogni pratica contiene un errore con probabilità del $10\%$ , indipendentemente dalle altre. La probabilità che almeno una delle tre pratiche contenga un errore è:

A) $0{,}3$
B) $0{,}729$
C) $0{,}001$
D) $0{,}271$
E) $0{,}243$

P(\text{nessun errore}) = 0{,}9 \cdot 0{,}9 \cdot 0{,}9 = 0{,}729

P(\text{almeno un errore}) = 1 - 0{,}729 = 0{,}271

Ogni pratica è corretta con probabilità $1 - 0{,}1 = 0{,}9$ . Le pratiche sono indipendenti, quindi per la regola del prodotto la probabilità che siano tutte e tre corrette è $0{,}9^3 = 0{,}729$ . L’evento “almeno un errore” è il contrario di “nessun errore”, perciò la sua probabilità è $1 - 0{,}729 = 0{,}271$ . L’opzione A somma le tre probabilità del $10\%$ , ma gli eventi “errore nella prima pratica” ed “errore nella seconda” possono verificarsi insieme, quindi la regola della somma non si applica. L’opzione B è la probabilità dell’evento contrario, e l’opzione E quella di esattamente un errore. La risposta corretta è la D.