Teoria

Rapporti, proporzioni e percentuali

Come si calcolano rapporti e proporzioni, come si riconoscono le grandezze direttamente e inversamente proporzionali, come si ripartisce una somma e come si risolvono i quesiti su percentuali, sconti, aumenti, IVA e variazioni successive.

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Rapporti
Proporzioni

Rapporti

Rapporto tra due numeri

Il rapporto tra due numeri $a$ e $b$ , con $b \neq 0$ , è il quoziente $\dfrac{a}{b}$ , che si scrive anche $a : b$ e si legge ” $a$ sta a $b$ ”. Il rapporto dice quante volte $a$ contiene $b$ , oppure quale frazione di $b$ è $a$ . Un rapporto non cambia se si moltiplicano o si dividono entrambi i termini per lo stesso numero diverso da zero, quindi si può sempre semplificare: in un gruppo di $12$ uomini e $18$ donne il rapporto tra uomini e donne è

\frac{12}{18} = \frac{2}{3},

cioè ci sono $2$ uomini ogni $3$ donne. Il rapporto tra uomini e totale delle persone è invece $\dfrac{12}{30} = \dfrac{2}{5}$ . I due rapporti sono diversi, quindi il risultato di un quesito dipende da quali grandezze si confrontano.

Scala di una carta geografica

La scala di una carta è il rapporto tra una distanza misurata sulla carta e la distanza reale corrispondente. In una carta in scala $1 : 25\,000$ ogni centimetro sulla carta corrisponde a $25\,000$ centimetri reali, cioè a $250$ metri. Due punti che sulla carta distano $4$ cm sono quindi lontani nella realtà

4 \cdot 25\,000\ \text{cm} = 100\,000\ \text{cm} = 1\ \text{km} .

Per passare dai centimetri ai chilometri si divide per $100\,000$ , perché $1$ km $= 1000$ m $= 100\,000$ cm.

Proporzioni

1. Proprietà fondamentale delle proporzioni

Una proporzione è un’uguaglianza tra due rapporti,

a : b = c : d ,

dove $a$ e $d$ si chiamano estremi e $b$ e $c$ medi. In ogni proporzione il prodotto dei medi è uguale al prodotto degli estremi:

a : b = c : d \iff a \cdot d = b \cdot c .

La proprietà serve a trovare un termine incognito. Nella proporzione $3 : 4 = 15 : x$ si ha $3 \cdot x = 4 \cdot 15$ , quindi

x = \frac{4 \cdot 15}{3} = 20 .

In pratica un medio incognito si ottiene moltiplicando gli estremi e dividendo per l’altro medio, e un estremo incognito moltiplicando i medi e dividendo per l’altro estremo.

Dimostrazione

La proporzione dice che $\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d}$ . Moltiplicando i due membri per $b \cdot d$ , che è diverso da zero, si ottiene $a \cdot d = c \cdot b$ . Viceversa, se $a \cdot d = b \cdot c$ , dividendo i due membri per $b \cdot d$ si ritrova $\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d}$ .

2. Proprietà del comporre

Se $a : b = c : d$ , con $a$ e $c$ diversi da zero, allora

(a + b) : a = (c + d) : c \qquad\text{e}\qquad (a + b) : b = (c + d) : d .

La proprietà segue dalla proprietà fondamentale sviluppando i prodotti. Serve nei problemi in cui sono noti il rapporto tra due quantità e la loro somma. Per dividere $120$ in due parti $x$ e $y$ con $x : y = 3 : 5$ si scrive $(x + y) : x = (3 + 5) : 3$ , cioè $120 : x = 8 : 3$ , e si ottiene $x = \dfrac{120 \cdot 3}{8} = 45$ , quindi $y = 120 - 45 = 75$ . Lo stesso risultato si ottiene ragionando per parti: $120$ si divide in $3 + 5 = 8$ parti uguali da $15$ , e $x$ ne prende $3$ , $y$ ne prende $5$ .

La teoria continua con 6 altri paragrafi (grandezze direttamente e inversamente proporzionali, ripartizione proporzionale, percentuali…), oltre a tutte le schede svolte, le soluzioni e il PDF.

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