Teoria

Numeri, frazioni e calcolo

Come si calcolano le espressioni con numeri interi, frazioni e decimali, come si trovano MCD e mcm e come si usano potenze, radici, notazione scientifica e arrotondamenti nei quiz a risposta multipla.

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Insiemi numerici
Operazioni, segni ed espressioni

Insiemi numerici

1. Numeri naturali e numeri interi

I numeri naturali sono i numeri che servono a contare, cioè $0, 1, 2, 3, \ldots$ , e il loro insieme si indica con $\mathbb{N}$ . La somma e il prodotto di due numeri naturali sono ancora numeri naturali, mentre la differenza può non esserlo: per esempio $3 - 5$ non è un numero naturale. Per questo si introducono i numeri interi $\ldots, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, \ldots$ , il cui insieme si indica con $\mathbb{Z}$ . Un numero intero ha un segno e un valore assoluto, che è il numero senza il segno; il valore assoluto di $-7$ è $7$ e si scrive $|-7| = 7$ . I numeri interi descrivono le grandezze che hanno due versi, come un saldo bancario. Un conto con $120$ euro sul quale si addebitano $150$ euro ha saldo $120 - 150 = -30$ euro.

2. Numeri razionali

Un numero razionale è un numero che si può scrivere come frazione $\dfrac{a}{b}$ , con $a$ e $b$ interi e $b \neq 0$ . Il loro insieme si indica con $\mathbb{Q}$ . Ogni intero è razionale, perché per esempio $5 = \dfrac{5}{1}$ , e ogni numero con un numero finito di cifre dopo la virgola è razionale, perché per esempio $0{,}75 = \dfrac{75}{100} = \dfrac{3}{4}$ . Su una retta orientata ogni numero razionale occupa un punto, e tra due numeri è maggiore quello che si trova più a destra.

Sulla retta orientata il numero più a destra è il maggiore, quindi

- 2 < - 0, 5 < 0, 75 < 2

Attenzione

Tra due numeri negativi è maggiore quello con il valore assoluto minore. Per esempio $-2 > -5$ , anche se $2 < 5$ , perché sulla retta $-2$ si trova a destra di $-5$ . Una temperatura che passa da $-2$ °C a $-5$ °C è quindi diminuita.

Operazioni, segni ed espressioni

1. Regole dei segni

Nel prodotto e nel quoziente di due numeri interi il segno del risultato dipende soltanto dai segni dei due numeri.

Se i due numeri hanno lo stesso segno, il risultato è positivo: $(-3) \cdot (-4) = 12$ e $\dfrac{-12}{-4} = 3$ .
Se i due numeri hanno segni diversi, il risultato è negativo: $(-3) \cdot 4 = -12$ e $\dfrac{12}{-4} = -3$ .

Moltiplicare per $-1$ porta ogni numero nel suo simmetrico rispetto allo zero, e ripetere due volte l’operazione riporta al numero di partenza; per questo $(-1) \cdot (-1) = 1$ e il prodotto di due numeri negativi è positivo. In un prodotto di più fattori il risultato è negativo se i fattori negativi sono in numero dispari, perciò $(-1) \cdot (-2) \cdot (-3) = -6$ . Nella somma di due numeri di segno diverso si sottraggono i valori assoluti, e il risultato ha il segno del numero con valore assoluto maggiore, come in $-7 + 3 = -4$ . Il segno meno davanti a un’espressione cambia il segno di tutti i suoi termini, quindi $10 - (3 - 8) = 10 - 3 + 8 = 15$ .

2. Ordine delle operazioni

In un’espressione si calcolano prima le potenze, poi le moltiplicazioni e le divisioni nell’ordine in cui compaiono da sinistra a destra, infine le addizioni e le sottrazioni, anch’esse da sinistra a destra. Se ci sono parentesi, si calcolano prima le espressioni contenute nelle parentesi tonde, poi quelle nelle quadre, infine quelle nelle graffe. La regola è una convenzione, adottata perché ogni espressione abbia un solo valore. Per esempio

20 - 4 \cdot 3 = 20 - 12 = 8 ,

mentre $(20 - 4) \cdot 3 = 48$ .

Espressione con le parentesi

Si calcola il valore di un’espressione con parentesi tonde e quadre:

\begin{aligned} 30 - 2 \cdot [\,4 + 3 \cdot (5 - 7)\,] &= 30 - 2 \cdot [\,4 + 3 \cdot (-2)\,] \\[6pt] &= 30 - 2 \cdot [\,4 - 6\,] \\[6pt] &= 30 - 2 \cdot (-2) \\[6pt] &= 30 + 4 = 34 . \end{aligned}

Nell’espressione $4 + 3 \cdot (-2)$ la moltiplicazione precede l’addizione, e il prodotto $-2 \cdot (-2)$ è positivo per la regola dei segni. Chi calcola per prima la sottrazione $30 - 2$ ottiene il risultato sbagliato $28 \cdot (-2) = -56$ .

La teoria continua con 7 altri paragrafi (divisibilità mcd e mcm, frazioni, frazione di un numero…), oltre a tutte le schede svolte, le soluzioni e il PDF.

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