Teoria

Medie, tabelle e grafici

Come si contano e si riassumono i dati con frequenze, media, mediana, moda e indici di variabilità, come cambia la media quando si aggiunge o si toglie un dato e come si leggono tabelle a doppia entrata, diagrammi a barre, istogrammi, diagrammi a torta e diagrammi cartesiani.

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Dati e frequenze
Media aritmetica e media ponderata

Dati e frequenze

1. Dati e carattere

Un’indagine statistica raccoglie informazioni su un gruppo di persone o di oggetti, detto popolazione. La proprietà che si osserva su ciascun elemento si chiama carattere, e il valore osservato si chiama dato o modalità. Un carattere è quantitativo se i dati sono numeri, come l’età o il numero di componenti di una famiglia, ed è qualitativo se i dati sono parole, come il colore preferito o il titolo di studio. La distinzione ha una conseguenza pratica, perché la media si calcola solo per un carattere quantitativo, mentre la moda si calcola per entrambi i tipi.

2. Frequenza assoluta

La frequenza assoluta di un dato è il numero di volte in cui il dato compare. Le frequenze si raccolgono in una tabella, e la loro somma è il numero totale $N$ degli elementi osservati. In un’indagine su $20$ famiglie si conta il numero di componenti di ciascuna:

componenti	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$	totale
famiglie	$6$	$5$	$4$	$3$	$2$	$20$

La frequenza assoluta del dato $3$ è $4$ , cioè $4$ famiglie hanno tre componenti. Come controllo, $6 + 5 + 4 + 3 + 2 = 20$ .

3. Frequenza relativa e frequenza percentuale

La frequenza relativa di un dato è il rapporto tra la sua frequenza assoluta e il totale $N$ :

f = \frac{\text{frequenza assoluta}}{N} .

Moltiplicata per $100$ dà la frequenza percentuale. La frequenza relativa serve a confrontare gruppi di grandezza diversa. Nella tabella delle famiglie il dato $1$ ha frequenza relativa $\dfrac{6}{20} = 0{,}3$ , cioè il $30\%$ ; il dato $2$ ha frequenza relativa $\dfrac{5}{20} = 0{,}25$ , cioè il $25\%$ . Le frequenze relative di tutti i dati hanno somma $1$ , e le frequenze percentuali hanno somma $100\%$ .

4. Frequenze cumulate

Per un carattere quantitativo, la frequenza cumulata di un dato è la somma delle frequenze di quel dato e di tutti i dati minori. Serve a rispondere alle domande del tipo “quanti hanno al più …”. Per le famiglie le frequenze cumulate sono

6, \qquad 6 + 5 = 11, \qquad 11 + 4 = 15, \qquad 15 + 3 = 18, \qquad 18 + 2 = 20 .

Quindi $15$ famiglie su $20$ , cioè il $75\%$ , hanno al più tre componenti. Le famiglie con almeno quattro componenti sono le rimanenti, $20 - 15 = 5$ .

Media aritmetica e media ponderata

1. Media aritmetica

La media aritmetica di $n$ numeri $x_1, x_2, \ldots, x_n$ è la loro somma divisa per $n$ :

\bar{x} = \frac{x_1 + x_2 + \cdots + x_n}{n} .

La media è il valore che ogni dato dovrebbe avere perché la somma resti la stessa. I voti $6$ , $7$ , $7$ , $8$ , $9$ , $5$ hanno somma $42$ , quindi la loro media è $\dfrac{42}{6} = 7$ , e sei voti tutti uguali a $7$ hanno la stessa somma $42$ . La media è sempre compresa tra il dato minimo e il dato massimo, e questo fornisce un primo controllo sul risultato.

2. Media ponderata

Quando i dati non hanno tutti la stessa importanza, a ciascun dato $x_i$ si associa un peso $p_i$ e si calcola la media ponderata

\bar{x} = \frac{x_1 \cdot p_1 + x_2 \cdot p_2 + \cdots + x_n \cdot p_n}{p_1 + p_2 + \cdots + p_n} .

Si divide per la somma dei pesi e non per il numero dei dati. Uno studente ha superato quattro esami con i voti $24$ , $28$ , $30$ , $26$ , che valgono rispettivamente $6$ , $9$ , $6$ , $9$ crediti. La media pesata sui crediti è

\frac{24 \cdot 6 + 28 \cdot 9 + 30 \cdot 6 + 26 \cdot 9}{6 + 9 + 6 + 9} = \frac{810}{30} = 27 .

La media ponderata serve anche per i dati raccolti in una tabella di frequenze, perché in quel caso i pesi sono le frequenze.

Media da una tabella di frequenze

Nella tabella delle $20$ famiglie ogni numero di componenti si moltiplica per la sua frequenza:

\bar{x} = \frac{1 \cdot 6 + 2 \cdot 5 + 3 \cdot 4 + 4 \cdot 3 + 5 \cdot 2}{20} = \frac{50}{20} = 2{,}5 .

La famiglia media ha quindi $2{,}5$ componenti. La media di un carattere che assume solo valori interi può essere un numero decimale, perché descrive il gruppo e non una singola famiglia.

Attenzione

La media di due gruppi riuniti non è in generale la media delle due medie. In una classe di $20$ studenti la media è $6$ e in un’altra di $30$ studenti la media è $7$ . La media dei $50$ studenti è la media ponderata con pesi $20$ e $30$ :

\frac{6 \cdot 20 + 7 \cdot 30}{50} = \frac{330}{50} = 6{,}6 .

La semplice media delle medie, $6{,}5$ , sarebbe corretta solo con due gruppi di uguale numerosità. La media complessiva è più vicina alla media del gruppo più numeroso.

La teoria continua con 6 altri paragrafi (mediana e moda, come cambia la media, indici di variabilità…), oltre a tutte le schede svolte, le soluzioni e il PDF.

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