Teoria

Successioni e serie numeriche

Come si trova la regola di una successione nei test attitudinali (differenze, rapporti, termini intrecciati, quadrati, cubi, Fibonacci), come si calcolano termine generale e somma delle progressioni aritmetiche e geometriche e come si risolvono le serie con lettere e le tabelle con il numero mancante.

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Successioni e regola di formazione
Differenze e rapporti

Successioni e regola di formazione

1. Successione

Una successione è un elenco ordinato di numeri, detti termini. Ogni termine occupa una posizione. Il primo termine si indica con $a_1$ , il secondo con $a_2$ e in generale il termine di posto $n$ con $a_n$ . Nella successione

2,\ 5,\ 8,\ 11,\ 14,\ \dots

si ha $a_1 = 2$ , $a_3 = 8$ e $a_5 = 14$ . I puntini indicano che l’elenco prosegue con la stessa regola. Nei test attitudinali un elenco di questo tipo si chiama spesso serie numerica, e il quesito chiede il termine che segue oppure un termine mancante in mezzo all’elenco.

2. Regola di formazione

La regola di formazione di una successione è l’operazione che produce ogni termine a partire dai precedenti, oppure a partire dalla sua posizione $n$ . La successione $2, 5, 8, 11, \dots$ si può descrivere in due modi.

Ogni termine è il precedente più $3$ , cioè $a_{n+1} = a_n + 3$ con $a_1 = 2$ . Questa scrittura si chiama forma ricorsiva.
Il termine di posto $n$ è $a_n = 3n - 1$ ; per esempio $a_4 = 3 \cdot 4 - 1 = 11$ . Questa scrittura si chiama termine generale.

La forma ricorsiva dà il termine successivo a quelli scritti. Il termine generale dà invece un termine lontano senza scrivere i precedenti, come $a_{50} = 3 \cdot 50 - 1 = 149$ .

Come si cerca la regola

Le regole usate nei quiz si riconoscono con alcuni controlli, ordinati dal più semplice al più complesso.

Se i termini crescono o diminuiscono in modo regolare, si calcolano le differenze tra termini consecutivi.
Se i termini crescono sempre più rapidamente, si calcolano i rapporti, oppure si confrontano i termini con i quadrati e con i cubi.
Se i termini salgono e scendono senza un andamento regolare, si separano i termini di posto dispari da quelli di posto pari.
Se i controlli precedenti non danno una regola, si verifica se ogni termine è la somma dei due precedenti oppure se si alternano due operazioni.

Una regola è accettabile solo se vale per tutti i termini dati. Nella successione $1, 2, 4, 7, 11$ la regola “ogni termine è il doppio del precedente” vale per i primi tre termini e non per il quarto, mentre le differenze $1, 2, 3, 4$ danno una regola che vale per tutti, e il termine successivo è $11 + 5 = 16$ .

Differenze e rapporti

1. Differenze tra termini consecutivi

La differenza tra due termini consecutivi è $a_{n+1} - a_n$ , cioè la quantità che si aggiunge a un termine per ottenere il successivo. Si scrive sotto la coppia di termini a cui si riferisce:

\begin{array}{ccccccc} 7 & & 11 & & 15 & & 19 \\ & +4 & & +4 & & +4 & \end{array}

Nella successione $7, 11, 15, 19, \dots$ le differenze valgono tutte $4$ , quindi il termine successivo è $19 + 4 = 23$ . Nella successione $50, 43, 36, 29, \dots$ le differenze valgono tutte $-7$ , quindi il termine successivo è $29 - 7 = 22$ .

2. Differenze delle differenze

Quando le differenze non sono tutte uguali, se ne calcolano a loro volta le differenze, dette differenze seconde, e le si scrive in una terza riga. Se le differenze seconde sono costanti, la successione si prolunga a partire dall’ultima riga. Nella successione $2, 5, 10, 17, 26, \dots$ si ottiene lo schema

\begin{array}{ccccccccc} 2 & & 5 & & 10 & & 17 & & 26 \\ & 3 & & 5 & & 7 & & 9 & \\ & & 2 & & 2 & & 2 & & \end{array}

La differenza successiva è quindi $9 + 2 = 11$ , e il termine successivo è $26 + 11 = 37$ . Il metodo è corretto perché ogni termine è il precedente più la sua differenza, e ogni differenza è la precedente più $2$ . Come controllo, i termini sono i numeri $n^2 + 1$ , e infatti $6^2 + 1 = 37$ .

Differenze che seguono un'altra regola

Le differenze possono formare una successione di un altro tipo. Nella successione $3, 4, 6, 10, 18, \dots$ le differenze sono $1, 2, 4, 8$ , e ognuna è il doppio della precedente. La differenza successiva è perciò $16$ , e il termine successivo è $18 + 16 = 34$ .

3. Rapporti tra termini consecutivi

Il rapporto tra due termini consecutivi è $\dfrac{a_{n+1}}{a_n}$ , cioè il numero per cui si moltiplica un termine per ottenere il successivo. Se i rapporti sono tutti uguali, ogni termine è il precedente moltiplicato per lo stesso numero. Nella successione $3, 6, 12, 24, \dots$ ogni termine è il doppio del precedente, quindi il termine successivo è $48$ . Nella successione $400, 200, 100, 50, \dots$ il rapporto vale $\dfrac{1}{2}$ , quindi il termine successivo è $25$ . In queste successioni le differenze non sono costanti, perché ognuna è il doppio, oppure la metà, della precedente; la regola si trova quindi con i rapporti.

La teoria continua con 7 altri paragrafi (operazioni miste e successioni intrecciate, quadrati cubi e successione di fibonacci, progressioni aritmetiche…), oltre a tutte le schede svolte, le soluzioni e il PDF.

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