Esercizi svolti · Scheda 1

Calcolo con le espressioni letterali

Teoria usata: Monomi e monomi simili Polinomi e loro prodotto Prodotti notevoli

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Esercizio 1

Un fornitore consegna $3a$ casse il lunedì, $2a$ casse il martedì e $a + 4$ casse il mercoledì. Il numero totale di casse consegnate nei tre giorni è:

A) $5a + 4$
B) $10a$
C) $6a + 4$
D) $6a$
E) $7a + 4$

3a + 2a + (a + 4) = (3 + 2 + 1)\,a + 4 = 6a + 4

I monomi $3a$ , $2a$ e $a$ hanno la stessa parte letterale, quindi sono monomi simili e si sommano sommando i coefficienti $3$ , $2$ e $1$ . Il numero $4$ non contiene la lettera $a$ , perciò resta separato. L’opzione A dimentica il coefficiente $1$ di $a$ , e l’opzione B somma $4$ ai coefficienti come se fosse un monomio simile. La risposta corretta è la C.

Esercizio 2

Lo sviluppo di $(2x - 3)^2$ è:

A) $4x^2 - 12x + 9$
B) $4x^2 - 9$
C) $4x^2 + 9$
D) $4x^2 - 6x + 9$
E) $2x^2 - 12x + 9$

\begin{aligned} (2x - 3)^2 &= (2x)^2 - 2 \cdot 2x \cdot 3 + 3^2 \\[6pt] &= 4x^2 - 12x + 9 \end{aligned}

Si applica il quadrato di un binomio $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ con $a = 2x$ e $b = 3$ . Il quadrato di $2x$ è $4x^2$ , perché si elevano al quadrato sia il coefficiente sia la lettera, e il doppio prodotto è $2 \cdot 2x \cdot 3 = 12x$ . L’opzione C dimentica il doppio prodotto, l’opzione D dimentica il fattore $2$ del doppio prodotto e l’opzione E non eleva al quadrato il coefficiente $2$ . La risposta corretta è la A.

Esercizio 3

L’espressione $(x + 2)^2 - (x - 2)^2$ è uguale a:

A) $0$
B) $8$
C) $2x^2 + 8$
D) $4x$
E) $8x$

\begin{aligned} (x + 2)^2 - (x - 2)^2 &= (x^2 + 4x + 4) - (x^2 - 4x + 4) \\[6pt] &= x^2 + 4x + 4 - x^2 + 4x - 4 \\[6pt] &= 8x \end{aligned}

I due quadrati si sviluppano con i prodotti notevoli. Il segno meno davanti al secondo sviluppo cambia il segno di tutti e tre i suoi termini, quindi $x^2$ e $4$ si cancellano e restano $4x + 4x = 8x$ . L’opzione A nasce dal dimenticare il doppio prodotto nei due sviluppi, l’opzione B dal cambiare segno al solo $x^2$ e l’opzione C dal sommare i due quadrati invece di sottrarli. Come controllo, per $x = 1$ l’espressione vale $9 - 1 = 8$ , e $8x$ vale proprio $8$ . La risposta corretta è la E.