Esercizi svolti · Scheda 3

Anagrammi e permutazioni con ripetizione

Teoria usata: Permutazioni con ripetizione Anagrammi Fattoriale

Vai a: Esercizio 1 Esercizio 2 Esercizio 3

Esercizio 1

Quanti sono gli anagrammi, anche privi di significato, della parola NONNA?

A) $20$
B) $120$
C) $60$
D) $10$
E) $40$

\frac{5!}{3!} = \frac{120}{6} = 20

La parola NONNA ha $5$ lettere, con la N ripetuta $3$ volte, la O e la A una volta ciascuna. Gli anagrammi sono quindi permutazioni con ripetizione, e si ottengono dividendo $5!$ per $3!$ , cioè per il numero degli scambi tra le tre N che lasciano la parola invariata. Si ottengono $20$ anagrammi. L’opzione B, cioè $5! = 120$ , tratta le tre N come lettere diverse; l’opzione C, cioè $\dfrac{5!}{2!}$ , divide per il fattoriale sbagliato. La risposta corretta è la A.

Esercizio 2

Su una mensola si dispongono in fila $4$ barattoli blu uguali tra loro e $3$ barattoli rossi uguali tra loro. Quante file diverse si possono ottenere?

A) $5040$
B) $144$
C) $12$
D) $35$
E) $210$

\frac{7!}{4! \cdot 3!} = \frac{7 \cdot 6 \cdot 5}{3 \cdot 2 \cdot 1} = \frac{210}{6} = 35

I barattoli sono $7$ , divisi in un gruppo di $4$ oggetti uguali e un gruppo di $3$ oggetti uguali. Per le permutazioni con ripetizione le file distinte sono $\dfrac{7!}{4! \cdot 3!}$ . Semplificando $4!$ con gli ultimi quattro fattori di $7!$ restano $\dfrac{7 \cdot 6 \cdot 5}{6} = 35$ . Lo stesso numero si ottiene scegliendo quali $3$ dei $7$ posti occupare con i barattoli rossi. L’opzione E, cioè $210 = \dfrac{7!}{4!}$ , divide soltanto per gli scambi tra i barattoli blu. La risposta corretta è la D.

Esercizio 3

Quanti sono gli anagrammi, anche privi di significato, della parola ANAGRAMMA?

A) $15\,120$
B) $181\,440$
C) $7560$
D) $362\,880$
E) $3780$

\begin{aligned} \frac{9!}{4! \cdot 2!} &= \frac{9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5}{2} \\[6pt] &= \frac{15\,120}{2} \\[6pt] &= 7560 \end{aligned}

La parola ANAGRAMMA ha $9$ lettere: la A compare $4$ volte, la M $2$ volte, la N, la G e la R una volta ciascuna. Per le permutazioni con ripetizione si divide $9!$ per $4! \cdot 2!$ . Semplificando $4!$ con gli ultimi fattori di $9!$ resta il prodotto $9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 = 15\,120$ , che diviso per $2$ dà $7560$ . L’opzione A dimentica la ripetizione della M, l’opzione E divide due volte per $2$ . La risposta corretta è la C.