Esercizi svolti · Scheda 2

Permutazioni semplici

Teoria usata: Permutazioni semplici Fattoriale Permutazioni con vincoli Anagrammi

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Esercizio 1

Sei candidati devono sostenere il colloquio orale, uno alla volta. In quanti ordini diversi possono essere convocati?

A) $36$
B) $120$
C) $720$
D) $21$
E) $5040$

P_6 = 6! = 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 720

Un ordine di convocazione è una fila dei $6$ candidati, quindi si contano le permutazioni semplici di $6$ oggetti. Il primo candidato si sceglie in $6$ modi, il secondo tra i $5$ rimasti, e così via fino all’ultimo, perciò gli ordini sono $6! = 720$ . L’opzione B, cioè $120 = 5!$ , e l’opzione E, cioè $5040 = 7!$ , sono i fattoriali dei numeri vicini. La risposta corretta è la C.

Esercizio 2

Quanti sono gli anagrammi, anche privi di significato, della parola LIBRO?

A) $25$
B) $24$
C) $60$
D) $720$
E) $120$

P_5 = 5! = 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 120

La parola LIBRO ha $5$ lettere tutte diverse, e un anagramma è una fila di queste $5$ lettere. Gli anagrammi sono quindi le permutazioni semplici di $5$ oggetti, cioè $5! = 120$ . Il conteggio comprende anche la parola LIBRO stessa, perché anche quella è una fila delle sue lettere. L’opzione B, cioè $24 = 4!$ , nasce dal togliere un fattore alla catena dei prodotti. La risposta corretta è la E.

Esercizio 3

Sei persone, tra cui Anna e Bruno, si mettono in fila davanti a uno sportello. In quante file Anna e Bruno sono uno accanto all’altro?

A) $120$
B) $240$
C) $720$
D) $480$
E) $48$

\begin{aligned} \text{file} &= 5! \cdot 2! \\[6pt] &= 120 \cdot 2 \\[6pt] &= 240 \end{aligned}

Poiché Anna e Bruno devono stare vicini, si considerano come un unico blocco. Il blocco e le altre $4$ persone sono $5$ elementi, che si mettono in fila in $5! = 120$ modi. Dentro il blocco Anna e Bruno si ordinano in $2! = 2$ modi, perché Anna può stare prima o dopo Bruno. Per il principio di moltiplicazione le file sono quindi $120 \cdot 2 = 240$ . L’opzione A dimentica i due ordini dentro il blocco; l’opzione D, cioè $480 = 720 - 240$ , conta le file in cui Anna e Bruno non sono vicini. La risposta corretta è la B.