Esercizi svolti · Scheda 3

Complementari e leggi di De Morgan

Teoria usata: Complementare Complementare dell'unione e dell'intersezione Numero di elementi dell'unione

Vai a: Esercizio 1 Esercizio 2 Esercizio 3

Esercizio 1

Nell’insieme universo $U = \{1, 2, 3, \ldots, 12\}$ siano $A$ l’insieme dei numeri pari e $B$ l’insieme dei multipli di $3$ . L’insieme $\overline{A \cup B}$ è:

A) $\{1, 3, 5, 7, 9, 11\}$
B) $\{2, 3, 4, 8, 9, 10\}$
C) $\{1, 5, 7, 11\}$
D) $\{1, 2, 3, 4, 5, 7, 8, 9, 10, 11\}$
E) $\{6, 12\}$

Numeri da

1

12

: fuori dai pari (

A

) e dai multipli di

3

(

B

) restano

1

5

7

11

Per la legge di De Morgan $\overline{A \cup B} = \overline{A} \cap \overline{B}$ , quindi si cercano i numeri che non sono pari e non sono multipli di $3$ . I dispari sono $1, 3, 5, 7, 9, 11$ , e fra questi $3$ e $9$ sono multipli di $3$ , perciò restano $1$ , $5$ , $7$ e $11$ . L’opzione A è il solo $\overline{A}$ , l’opzione D è $\overline{A \cap B}$ e l’opzione B è l’insieme degli elementi che appartengono a uno solo dei due insiemi. La risposta corretta è la C.

Esercizio 2

In un’azienda $P$ è l’insieme dei dipendenti che hanno la patente e $L$ è l’insieme dei dipendenti che parlano una lingua straniera. L’insieme $\overline{P \cap L}$ è formato dai dipendenti che:

A) non hanno la patente e non parlano una lingua straniera
B) hanno la patente e non parlano una lingua straniera
C) parlano una lingua straniera e non hanno la patente
D) non hanno la patente oppure non parlano una lingua straniera
E) hanno la patente oppure parlano una lingua straniera, ma non entrambe le cose

Il complementare di

P \cap L

comprende le tre zone esterne alla parte comune ai due cerchi

L’insieme $P \cap L$ contiene i dipendenti che hanno entrambe le caratteristiche. Un dipendente sta nel complementare quando gli manca almeno una delle due, quindi per la legge di De Morgan $\overline{P \cap L} = \overline{P} \cup \overline{L}$ , cioè i dipendenti che non hanno la patente oppure non parlano una lingua straniera. L’opzione A descrive $\overline{P \cup L}$ , cioè la sola zona esterna ai due cerchi, e nasce dall’errore di chi nega una frase con “e” lasciando la “e”. L’opzione E esclude i dipendenti che non hanno nessuna delle due caratteristiche, che invece stanno in $\overline{P \cap L}$ . La risposta corretta è la D.

Esercizio 3

Un bando richiede due requisiti, la patente B e un certificato di lingua inglese. Dei $50$ candidati, $30$ hanno la patente, $25$ hanno il certificato e $12$ hanno entrambi i requisiti. Quanti candidati sono esclusi perché privi di almeno uno dei due requisiti?

A) $7$
B) $43$
C) $12$
D) $31$
E) $38$

|\overline{P \cap C}| = |U| - |P \cap C| = 50 - 12 = 38

Candidati con la patente (

P

) e con il certificato (

C

): sono esclusi tutti tranne i

12

della parte comune

Un candidato è ammesso solo se ha entrambi i requisiti, cioè se appartiene a $P \cap C$ . Gli esclusi formano il complementare di $P \cap C$ , quindi sono $50 - 12 = 38$ . Il diagramma conferma il risultato, perché $18 + 13 + 7 = 38$ . L’opzione A conta soltanto chi non ha nessuno dei due requisiti, e l’opzione D conta chi ne ha esattamente uno, senza chi non ne ha nessuno. La risposta corretta è la E.