Esercizi svolti · Scheda 2

Conteggi con due insiemi

Teoria usata: Numero di elementi dell'unione Quanti non praticano nessuno dei due sport Le quattro zone e il dato mancante

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Esercizio 1

In una classe di $40$ studenti, $22$ giocano a calcio, $15$ praticano il nuoto e $8$ praticano entrambi gli sport. Quanti studenti non praticano nessuno dei due sport?

A) $3$
B) $29$
C) $11$
D) $8$
E) $18$

|C \cup N| = 22 + 15 - 8 = 29, \qquad 40 - 29 = 11

Studenti che giocano a calcio (

C

) e che nuotano (

N

14

solo calcio,

8

entrambi,

7

solo nuoto,

11

nessuno dei due

Per la formula dell’unione gli studenti che praticano almeno uno sport sono $22 + 15 - 8 = 29$ , perché gli $8$ studenti che praticano entrambi gli sport sono compresi sia fra i $22$ sia fra i $15$ . Gli studenti che non praticano nessuno sport sono quindi $40 - 29 = 11$ . L’opzione A, cioè $40 - 22 - 15 = 3$ , toglie due volte gli $8$ studenti comuni, mentre l’opzione B è il numero di chi pratica almeno uno sport. La risposta corretta è la C.

Esercizio 2

Una biblioteca ha $130$ iscritti. Nell’ultimo anno $75$ iscritti hanno preso in prestito romanzi, $50$ hanno preso in prestito saggi e $20$ non hanno preso in prestito nessun libro. Quanti iscritti hanno preso in prestito solo romanzi?

A) $75$
B) $15$
C) $35$
D) $110$
E) $60$

|R \cup S| = 130 - 20 = 110, \qquad |R \cap S| = 75 + 50 - 110 = 15, \qquad 75 - 15 = 60

Iscritti che hanno preso in prestito romanzi (

R

) e saggi (

S

): la zona colorata contiene chi ha preso solo romanzi

Gli iscritti che hanno preso almeno un libro sono $130 - 20 = 110$ . Dalla formula dell’unione si ricava la zona comune, $75 + 50 - 110 = 15$ iscritti, che hanno preso sia romanzi sia saggi. I $75$ lettori di romanzi comprendono questi $15$ , perciò quelli che hanno preso solo romanzi sono $75 - 15 = 60$ . L’opzione A confonde “romanzi” con “solo romanzi”, e l’opzione B è la zona comune. La risposta corretta è la E.

Esercizio 3

In un ufficio di $36$ dipendenti, quelli che usano il treno per andare al lavoro sono il doppio di quelli che usano l’autobus. Esattamente $6$ dipendenti usano entrambi i mezzi e $3$ non usano nessuno dei due. Quanti dipendenti usano solo il treno?

A) $26$
B) $20$
C) $13$
D) $7$
E) $22$

2x + x - 6 = 36 - 3 \iff 3x = 39 \iff x = 13

|T| = 2 \cdot 13 = 26, \qquad 26 - 6 = 20

Dipendenti che usano il treno (

T

) e l'autobus (

A

20

solo treno,

6

entrambi,

7

solo autobus,

3

nessuno dei due

Si indica con $x$ il numero di dipendenti che usano l’autobus, quindi quelli che usano il treno sono $2x$ . Chi usa almeno un mezzo è $36 - 3 = 33$ , e per la formula dell’unione vale $2x + x - 6 = 33$ , da cui $x = 13$ . Perciò il treno è usato da $26$ dipendenti, e togliendo i $6$ che usano anche l’autobus si ottengono $20$ dipendenti che usano solo il treno. Come controllo, $20 + 6 + 7 + 3 = 36$ . L’opzione A è il numero totale di chi usa il treno. La risposta corretta è la B.