Esercizi svolti · Scheda 3

Sbarrette in moto a velocità costante su binari

Teoria usata: F.e.m. di una sbarretta in moto Verso della corrente nella sbarretta Forza frenante e bilancio energetico Corrente indotta e f.e.m. indotta

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Esercizio 1

Due binari conduttori orizzontali, a distanza $\ell = 40\,\mathrm{cm}$ , sono chiusi da un resistore $R = 2{,}0\,\mathrm{\Omega}$ e si trovano in un campo magnetico uniforme $B = 0{,}50\,\mathrm{T}$ , perpendicolare al piano dei binari e uscente dal foglio. Una sbarretta conduttrice, perpendicolare ai binari, si muove verso destra con velocità costante $v = 3{,}0\,\mathrm{m/s}$ . Le resistenze di binari e sbarretta sono trascurabili. Calcola la f.e.m. indotta e la corrente, e determina il verso della corrente nella sbarretta.

Sbarretta in moto verso destra in un campo uscente (

⊙

): la corrente

I

scende lungo la sbarretta e circola in verso orario, e la forza magnetica

F

sulla sbarretta è rivolta verso sinistra

\mathcal{E} = B \ell v , \qquad I = \frac{\mathcal{E}}{R} = \frac{B \ell v}{R}

\begin{aligned} \mathcal{E} &= 0{,}50 \cdot 0{,}40 \cdot 3{,}0\,\mathrm{V} = 0{,}60\,\mathrm{V} \\[6pt] I &= \frac{0{,}60}{2{,}0}\,\mathrm{A} = 0{,}30\,\mathrm{A} \end{aligned}

La sbarretta, la velocità e il campo sono perpendicolari a due a due e la velocità è costante, quindi si applica il teorema sulla f.e.m. di una sbarretta in moto. Prima di sostituire si porta la lunghezza in metri, $\ell = 0{,}40\,\mathrm{m}$ . La f.e.m. è $0{,}60\,\mathrm{V}$ e, poiché il circuito ha resistenza $2{,}0\,\mathrm{\Omega}$ , la corrente è $0{,}30\,\mathrm{A}$ .

Per il verso si usa la forza di Lorentz su una carica positiva della sbarretta. La velocità è verso destra e il campo è uscente; con la regola della mano destra, dita lungo $\vec{v}$ e piegate verso $\vec{B}$ , il prodotto $\vec{v} \times \vec{B}$ risulta rivolto verso il basso del foglio. Le cariche positive sono spinte verso il basso, quindi la corrente scende lungo la sbarretta e circola nel circuito in verso orario.

La legge di Lenz conferma il risultato. L’area del circuito aumenta, quindi aumenta il flusso uscente, e il campo indotto all’interno del circuito è entrante; una corrente in verso orario produce proprio un campo entrante.

Esercizio 2

Una sbarretta lunga $30\,\mathrm{cm}$ scorre senza attrito su due binari chiusi da un resistore di $1{,}2\,\mathrm{\Omega}$ , in un campo magnetico uniforme di $0{,}80\,\mathrm{T}$ perpendicolare al piano dei binari ed entrante nel foglio. Una forza esterna mantiene la sbarretta in moto verso destra con velocità costante di $5{,}0\,\mathrm{m/s}$ . Le resistenze di binari e sbarretta sono trascurabili.

a) Calcola la f.e.m. indotta e la corrente.

b) Calcola il modulo della forza esterna e indicane il verso.

c) Verifica che la potenza della forza esterna è uguale alla potenza dissipata nel resistore.

\mathcal{E} = B \ell v , \qquad I = \frac{B \ell v}{R} , \qquad F_{\text{est}} = F_m = I \ell B , \qquad P_{\text{mecc}} = F_{\text{est}}\,v , \qquad P_{\text{diss}} = R I^2

\begin{aligned} \mathcal{E} &= 0{,}80 \cdot 0{,}30 \cdot 5{,}0\,\mathrm{V} = 1{,}2\,\mathrm{V} \\[6pt] I &= \frac{1{,}2}{1{,}2}\,\mathrm{A} = 1{,}0\,\mathrm{A} \\[6pt] F_{\text{est}} &= 1{,}0 \cdot 0{,}30 \cdot 0{,}80\,\mathrm{N} = 0{,}24\,\mathrm{N} \\[6pt] P_{\text{mecc}} &= 0{,}24 \cdot 5{,}0\,\mathrm{W} = 1{,}2\,\mathrm{W} \\[6pt] P_{\text{diss}} &= 1{,}2 \cdot 1{,}0^2\,\mathrm{W} = 1{,}2\,\mathrm{W} \end{aligned}

Per il teorema sulla f.e.m. di una sbarretta in moto la f.e.m. è $B \ell v = 1{,}2\,\mathrm{V}$ , e la corrente è $1{,}0\,\mathrm{A}$ . Il campo è entrante e la sbarretta si muove verso destra, quindi il prodotto $\vec{v} \times \vec{B}$ è rivolto verso l’alto del foglio e la corrente sale lungo la sbarretta, in verso antiorario nel circuito.

La sbarretta è un filo percorso da corrente in un campo magnetico, quindi su di essa agisce la forza $I\,\vec{\ell} \times \vec{B}$ , con $\vec{\ell}$ rivolto verso l’alto come la corrente. Con la regola della mano destra questa forza è rivolta verso sinistra, cioè si oppone al moto, come prevede la legge di Lenz; il suo modulo è $I \ell B = 0{,}24\,\mathrm{N}$ . La velocità è costante, perciò la risultante delle forze è nulla e la forza esterna ha modulo $0{,}24\,\mathrm{N}$ ed è rivolta verso destra.

La potenza di una forza parallela alla velocità è il prodotto $F v$ , e vale $1{,}2\,\mathrm{W}$ . La potenza dissipata nel resistore per effetto Joule è $R I^2 = 1{,}2\,\mathrm{W}$ . Le due potenze sono uguali, come prevede il bilancio energetico, perché il lavoro della forza esterna diventa energia elettrica e poi calore nel resistore.

Esercizio 3

Una sbarretta di resistenza $r = 0{,}10\,\mathrm{\Omega}$ e lunghezza $\ell = 50\,\mathrm{cm}$ scorre a velocità costante $v = 2{,}5\,\mathrm{m/s}$ su due binari di resistenza trascurabile, chiusi da un resistore $R = 0{,}40\,\mathrm{\Omega}$ . Il campo magnetico è uniforme, vale $0{,}20\,\mathrm{T}$ ed è perpendicolare al piano dei binari. Gli attriti sono trascurabili.

a) Calcola la corrente e la differenza di potenziale ai capi del resistore.

b) Calcola la potenza della forza esterna che mantiene costante la velocità, e la potenza dissipata nel resistore e nella sbarretta.

\mathcal{E} = B \ell v , \qquad I = \frac{\mathcal{E}}{R + r} , \qquad \Delta V_R = R I , \qquad F = I \ell B , \qquad P_{\text{mecc}} = F v

\begin{aligned} \mathcal{E} &= 0{,}20 \cdot 0{,}50 \cdot 2{,}5\,\mathrm{V} = 0{,}25\,\mathrm{V} \\[6pt] I &= \frac{0{,}25}{0{,}40 + 0{,}10}\,\mathrm{A} = 0{,}50\,\mathrm{A} \\[6pt] \Delta V_R &= 0{,}40 \cdot 0{,}50\,\mathrm{V} = 0{,}20\,\mathrm{V} \\[6pt] F &= 0{,}50 \cdot 0{,}50 \cdot 0{,}20\,\mathrm{N} = 0{,}050\,\mathrm{N} \\[6pt] P_{\text{mecc}} &= 0{,}050 \cdot 2{,}5\,\mathrm{W} = 0{,}125\,\mathrm{W} \\[6pt] P_R &= 0{,}40 \cdot 0{,}50^2\,\mathrm{W} = 0{,}10\,\mathrm{W} , \qquad P_r = 0{,}10 \cdot 0{,}50^2\,\mathrm{W} = 0{,}025\,\mathrm{W} \end{aligned}

La sbarretta in moto si comporta come un generatore di f.e.m. $B \ell v = 0{,}25\,\mathrm{V}$ con resistenza interna $r$ . Il resistore e la sbarretta sono attraversati dalla stessa corrente, quindi sono in serie, e la resistenza complessiva del circuito è $R + r = 0{,}50\,\mathrm{\Omega}$ . La corrente è perciò $0{,}50\,\mathrm{A}$ .

Ai capi del resistore la differenza di potenziale è $R I = 0{,}20\,\mathrm{V}$ , minore della f.e.m. La differenza, $0{,}05\,\mathrm{V}$ , è la caduta di tensione $r I$ all’interno della sbarretta, come accade per un generatore reale.

La forza magnetica sulla sbarretta ha modulo $I \ell B = 0{,}050\,\mathrm{N}$ , e la forza esterna la equilibra perché la velocità è costante. La potenza della forza esterna è $0{,}125\,\mathrm{W}$ . Questa potenza si divide tra il resistore, $0{,}10\,\mathrm{W}$ , e la sbarretta, $0{,}025\,\mathrm{W}$ , e la somma $0{,}125\,\mathrm{W}$ è uguale alla potenza meccanica, in accordo con il bilancio energetico.