Esercizi svolti · Scheda 2

Verso della corrente indotta con la legge di Lenz

Teoria usata: Legge di Lenz lenz variazione Un magnete che si avvicina a un anello Legge di Lenz e conservazione dell'energia Legge di Faraday-Neumann Corrente indotta e flusso

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Esercizio 1

Una spira circolare giace nel piano del foglio, in un campo magnetico uniforme entrante nel foglio ( $\otimes$ ). Determina il verso della corrente indotta nella spira, visto da chi guarda il foglio, quando il modulo del campo a) aumenta; b) diminuisce.

\text{a)}\ \ \Phi_B \text{ entrante aumenta} \quad\Longrightarrow\quad \vec{B}_{\text{ind}} \text{ uscente } (\odot) \quad\Longrightarrow\quad \text{verso antiorario}

\text{b)}\ \ \Phi_B \text{ entrante diminuisce} \quad\Longrightarrow\quad \vec{B}_{\text{ind}} \text{ entrante } (\otimes) \quad\Longrightarrow\quad \text{verso orario}

Si applica la legge di Lenz in tre passi, che stabiliscono nell’ordine la variazione del flusso, il verso del campo indotto e il verso della corrente.

Nel caso a) il campo entrante aumenta, quindi aumenta il flusso entrante attraverso la spira. Il campo prodotto dalla corrente indotta si oppone a questo aumento, perciò all’interno della spira è uscente. Con il pollice della mano destra rivolto verso chi guarda, cioè uscente dal foglio, le dita piegate girano in verso antiorario. La corrente indotta circola quindi in verso antiorario.

Nel caso b) il flusso entrante diminuisce. Il campo indotto si oppone alla diminuzione, quindi è entrante, concorde con il campo esterno. Con il pollice rivolto verso il foglio le dita girano in verso orario, perciò la corrente circola in verso orario. Nei due casi i versi sono opposti, perché sono opposte le variazioni del flusso, anche se il campo esterno ha lo stesso verso.

Esercizio 2

Un magnete a barra si trova sull’asse di un anello conduttore, con il polo sud rivolto verso l’anello, e viene allontanato dall’anello lungo l’asse. Determina il verso della corrente indotta nell’anello, visto dal lato del magnete, e spiega se l’anello attira o respinge il magnete.

\Phi_B \text{ diminuisce} \quad\Longrightarrow\quad \vec{B}_{\text{ind}} \text{ concorde con } \vec{B}_{\text{magnete}} \text{ (verso il magnete)} \quad\Longrightarrow\quad \text{verso antiorario}

\text{faccia dell'anello verso il magnete} = \text{polo nord} \quad\Longrightarrow\quad \text{attrazione}

Le linee del campo di un magnete escono dal polo nord ed entrano nel polo sud. Vicino al polo sud il campo è quindi rivolto verso il magnete, e nei punti dell’anello attraversa l’anello dirigendosi verso il magnete. Quando il magnete si allontana, il campo nei punti dell’anello diventa più debole e il flusso diminuisce.

Per la legge di Lenz il campo indotto si oppone alla diminuzione, quindi all’interno dell’anello è concorde con il campo del magnete, cioè rivolto verso il magnete. Chi guarda dal lato del magnete vede questo campo venire verso di sé; con il pollice della mano destra rivolto verso chi guarda le dita girano in verso antiorario, perciò la corrente indotta circola in verso antiorario.

Il campo indotto esce dalla faccia dell’anello rivolta verso il magnete, quindi quella faccia si comporta come un polo nord. Un polo nord e un polo sud si attirano, perciò l’anello attira il magnete e si oppone al suo allontanamento. Il risultato è coerente con la conservazione dell’energia, perché per allontanare il magnete serve un lavoro, che diventa l’energia della corrente indotta.

Esercizio 3

Un filo rettilineo molto lungo giace nel piano del foglio ed è percorso da una corrente $I$ diretta verso destra, che sta aumentando. Sopra il filo, nello stesso piano, si trova una spira rettangolare con due lati paralleli al filo. Determina il verso della corrente indotta nella spira e spiega se la spira viene attratta o respinta dal filo.

Sopra il filo percorso dalla corrente

I

il campo è uscente (

⊙

); se

I

aumenta, nella spira circola una corrente

i

in verso orario, che produce all'interno della spira il campo entrante

B^{'}

\vec{B}_{\text{filo}} \text{ sopra il filo: uscente} , \qquad I \text{ aumenta} \ \Longrightarrow\ \Phi_B \text{ uscente aumenta}

\vec{B}_{\text{ind}} \text{ entrante} \quad\Longrightarrow\quad \text{verso orario}

\text{lato vicino: corrente opposta a } I \ \Longrightarrow\ \text{repulsione (prevale)} , \qquad \text{lato lontano: corrente concorde} \ \Longrightarrow\ \text{attrazione}

Il campo di un filo rettilineo si trova con la regola della mano destra: con il pollice nel verso della corrente, cioè verso destra, le dita piegate escono dal foglio sopra il filo ed entrano nel foglio sotto il filo. Nei punti della spira il campo è quindi uscente. Il campo di un filo è proporzionale alla corrente, perciò quando $I$ aumenta il flusso uscente attraverso la spira aumenta.

Per la legge di Lenz il campo indotto all’interno della spira si oppone all’aumento del flusso uscente, quindi è entrante. Con il pollice rivolto verso il foglio le dita girano in verso orario, perciò la corrente indotta circola in verso orario, cioè verso destra nel lato superiore e verso sinistra nel lato inferiore.

Due fili paralleli si attirano se le correnti sono concordi e si respingono se sono opposte, come si è visto nell’argomento sulle sorgenti del campo magnetico. Il lato inferiore della spira ha corrente opposta a $I$ , quindi è respinto; il lato superiore ha corrente concorde, quindi è attratto. Il campo del filo è più intenso vicino al filo, perciò la forza sul lato inferiore è maggiore, e la spira viene respinta. Allontanandosi, la spira riduce l’aumento del flusso, in accordo con la legge di Lenz.

Esercizio 4

Una spira circolare di raggio $5{,}0\,\mathrm{cm}$ e resistenza $0{,}10\,\mathrm{\Omega}$ giace nel piano del foglio, in un campo magnetico uniforme uscente dal foglio. Il modulo del campo diminuisce in modo uniforme da $0{,}40\,\mathrm{T}$ a $0{,}10\,\mathrm{T}$ in $0{,}30\,\mathrm{s}$ . Calcola l’intensità della corrente indotta e determinane il verso.

\Phi_B = B\,\pi r^2 , \qquad i = \frac{1}{R}\,\frac{|\Delta\Phi_B|}{\Delta t} = \frac{(B_1 - B_2)\,\pi r^2}{R\,\Delta t}

\begin{aligned} \Phi_1 &= 0{,}40 \cdot \pi \cdot 0{,}050^2\,\mathrm{Wb} \approx 3{,}14 \cdot 10^{-3}\,\mathrm{Wb} \\[6pt] \Phi_2 &= 0{,}10 \cdot \pi \cdot 0{,}050^2\,\mathrm{Wb} \approx 0{,}79 \cdot 10^{-3}\,\mathrm{Wb} \\[6pt] |\mathcal{E}| &= \frac{(3{,}14 - 0{,}79) \cdot 10^{-3}}{0{,}30}\,\mathrm{V} \approx 7{,}9 \cdot 10^{-3}\,\mathrm{V} \\[6pt] i &= \frac{7{,}85 \cdot 10^{-3}}{0{,}10}\,\mathrm{A} \approx 7{,}9 \cdot 10^{-2}\,\mathrm{A} \end{aligned}

\Phi_B \text{ uscente diminuisce} \quad\Longrightarrow\quad \vec{B}_{\text{ind}} \text{ uscente} \quad\Longrightarrow\quad \text{verso antiorario}

Il campo è uniforme e perpendicolare alla spira, quindi il flusso è $B\,\pi r^2$ . Il campo diminuisce in modo uniforme, perciò la f.e.m. è costante e si calcola con la legge di Faraday-Neumann come rapporto tra la variazione del flusso e l’intervallo di tempo. Il suo modulo è circa $7{,}9\,\mathrm{mV}$ , e la corrente indotta, per la prima legge di Ohm, è circa $79\,\mathrm{mA}$ .

Il flusso uscente diminuisce. Per la legge di Lenz il campo indotto si oppone alla diminuzione, quindi all’interno della spira è uscente. Con il pollice rivolto verso chi guarda le dita girano in verso antiorario, perciò la corrente circola in verso antiorario.