Esercizi svolti · Scheda 3

Circuiti RL alla chiusura

Teoria usata: Corrente alla chiusura di un circuito RL Significato della costante di tempo Equazione del circuito RL Induttore

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Esercizio 1

Un generatore ideale di f.e.m. $\mathcal{E} = 12\,\mathrm{V}$ , un resistore $R = 4{,}0\,\mathrm{\Omega}$ e un induttore ideale $L = 12\,\mathrm{mH}$ sono collegati in serie con un interruttore, che viene chiuso all’istante $t = 0$ . Calcola la costante di tempo, la corrente di regime e la rapidità con cui cresce la corrente subito dopo la chiusura. Determina poi la corrente e le tensioni ai capi del resistore e dell’induttore all’istante $t_1 = 6{,}0\,\mathrm{ms}$ .

\tau = \frac{L}{R} , \qquad I = \frac{\mathcal{E}}{R} , \qquad \left( \frac{di}{dt} \right)_{t = 0} = \frac{\mathcal{E}}{L} , \qquad i(t) = I \left( 1 - e^{-\frac{t}{\tau}} \right) , \qquad V_R = R\,i , \qquad V_L = \mathcal{E} - V_R

\begin{aligned} \tau &= \frac{12 \cdot 10^{-3}\,\mathrm{H}}{4{,}0\,\mathrm{\Omega}} = 3{,}0 \cdot 10^{-3}\,\mathrm{s} , \qquad I = \frac{12\,\mathrm{V}}{4{,}0\,\mathrm{\Omega}} = 3{,}0\,\mathrm{A} \\[6pt] \left( \frac{di}{dt} \right)_{t = 0} &= \frac{12\,\mathrm{V}}{12 \cdot 10^{-3}\,\mathrm{H}} = 1{,}0 \cdot 10^3\,\mathrm{A/s} \\[6pt] i(t_1) &= 3{,}0 \cdot \left( 1 - e^{-\frac{6{,}0}{3{,}0}} \right)\,\mathrm{A} = 3{,}0 \cdot \left( 1 - e^{-2} \right)\,\mathrm{A} = 2{,}6\,\mathrm{A} \\[6pt] V_R &= 4{,}0 \cdot 2{,}59\,\mathrm{V} = 10{,}4\,\mathrm{V} , \qquad V_L = 12\,\mathrm{V} - 10{,}4\,\mathrm{V} = 1{,}6\,\mathrm{V} \end{aligned}

i = 3{,}0 \left( 1 - e^{-\frac{t}{3{,}0}} \right)

Corrente in ampere, con il tempo in millisecondi: all'istante

t_{1} = 6, 0 ms = 2 τ

la corrente vale

2, 6 A

, l'

86 %

del valore di regime

Il circuito è un circuito RL con l’interruttore chiuso a corrente nulla, quindi si applica la legge della corrente alla chiusura di un circuito RL. La costante di tempo è $\dfrac{L}{R} = 3{,}0\,\mathrm{ms}$ e la corrente tende al valore di regime $\dfrac{\mathcal{E}}{R} = 3{,}0\,\mathrm{A}$ .

Subito dopo la chiusura la corrente è ancora nulla, perciò anche la tensione $R\,i$ ai capi del resistore è nulla. Per l’equazione del circuito tutta la f.e.m. del generatore si trova allora ai capi dell’induttore, cioè $L\,\dfrac{di}{dt} = \mathcal{E}$ , e la corrente cresce con la rapidità $\dfrac{\mathcal{E}}{L} = 1000\,\mathrm{A/s}$ .

L’istante $t_1 = 6{,}0\,\mathrm{ms}$ corrisponde a due costanti di tempo, quindi l’esponente vale $-2$ e la corrente è $3{,}0 \cdot (1 - 0{,}135)\,\mathrm{A} = 2{,}6\,\mathrm{A}$ . La tensione ai capi del resistore si calcola con la legge di Ohm. Per l’equazione del circuito la somma delle due tensioni è $\mathcal{E}$ in ogni istante, perciò ai capi dell’induttore restano $1{,}6\,\mathrm{V}$ . Lo stesso valore si ottiene con $V_L = \mathcal{E}\,e^{-\frac{t}{\tau}} = 12 \cdot e^{-2}\,\mathrm{V} = 1{,}6\,\mathrm{V}$ .

Esercizio 2

Un circuito RL ha $L = 0{,}10\,\mathrm{H}$ e $R = 2{,}0\,\mathrm{\Omega}$ , e l’interruttore viene chiuso all’istante $t = 0$ . Calcola dopo quanto tempo la corrente raggiunge il $90\,\%$ del valore di regime e dopo quanto tempo la tensione ai capi del resistore è uguale alla tensione ai capi dell’induttore.

\tau = \frac{L}{R} , \qquad 1 - e^{-\frac{t_1}{\tau}} = 0{,}90 \quad\Longrightarrow\quad e^{-\frac{t_1}{\tau}} = 0{,}10 \quad\Longrightarrow\quad t_1 = \tau \ln 10

V_R = V_L \quad\Longrightarrow\quad \mathcal{E} \left( 1 - e^{-\frac{t_2}{\tau}} \right) = \mathcal{E}\,e^{-\frac{t_2}{\tau}} \quad\Longrightarrow\quad e^{-\frac{t_2}{\tau}} = \frac{1}{2} \quad\Longrightarrow\quad t_2 = \tau \ln 2

\tau = \frac{0{,}10\,\mathrm{H}}{2{,}0\,\mathrm{\Omega}} = 0{,}050\,\mathrm{s} , \qquad t_1 = 0{,}050 \cdot 2{,}303\,\mathrm{s} = 0{,}12\,\mathrm{s} , \qquad t_2 = 0{,}050 \cdot 0{,}693\,\mathrm{s} = 0{,}035\,\mathrm{s}

Per la legge della corrente alla chiusura di un circuito RL il rapporto tra la corrente e il valore di regime è $1 - e^{-\frac{t}{\tau}}$ . Si impone che questo rapporto valga $0{,}90$ , quindi l’esponenziale deve valere $0{,}10$ . Passando ai logaritmi naturali si ottiene $-\dfrac{t_1}{\tau} = \ln 0{,}10 = -\ln 10$ , e perciò $t_1 = \tau \ln 10$ , circa $2{,}3$ costanti di tempo.

La tensione ai capi del resistore è $R\,i = \mathcal{E} \left( 1 - e^{-\frac{t}{\tau}} \right)$ , e quella ai capi dell’induttore è $L\,\dfrac{di}{dt} = \mathcal{E}\,e^{-\frac{t}{\tau}}$ . Uguagliando le due espressioni e dividendo per $\mathcal{E}$ si ottiene $1 = 2\,e^{-\frac{t_2}{\tau}}$ , quindi l’esponenziale vale $\dfrac{1}{2}$ e $t_2 = \tau \ln 2$ . In quell’istante ciascuna tensione è metà della f.e.m. del generatore. Nessuno dei due risultati dipende da $\mathcal{E}$ , perché la f.e.m. si semplifica.

Esercizio 3

Una bobina reale ha induttanza $L = 0{,}50\,\mathrm{H}$ e resistenza $R_b = 5{,}0\,\mathrm{\Omega}$ . La bobina viene collegata in serie a un resistore $R_1 = 15\,\mathrm{\Omega}$ e a un generatore ideale di f.e.m. $\mathcal{E} = 10\,\mathrm{V}$ , chiudendo l’interruttore all’istante $t = 0$ . Calcola la costante di tempo e la corrente di regime. Determina la tensione misurata da un voltmetro collegato ai capi della bobina all’istante $t = \tau$ e a regime.

R = R_1 + R_b , \qquad \tau = \frac{L}{R} , \qquad I = \frac{\mathcal{E}}{R} , \qquad V_{\text{bob}} = \mathcal{E} - R_1\,i

\begin{aligned} R &= 15\,\mathrm{\Omega} + 5{,}0\,\mathrm{\Omega} = 20\,\mathrm{\Omega} , \qquad \tau = \frac{0{,}50\,\mathrm{H}}{20\,\mathrm{\Omega}} = 0{,}025\,\mathrm{s} , \qquad I = \frac{10\,\mathrm{V}}{20\,\mathrm{\Omega}} = 0{,}50\,\mathrm{A} \\[6pt] i(\tau) &= 0{,}50 \cdot \left( 1 - e^{-1} \right)\,\mathrm{A} = 0{,}316\,\mathrm{A} \\[6pt] V_{\text{bob}}(\tau) &= 10\,\mathrm{V} - 15 \cdot 0{,}316\,\mathrm{V} = 5{,}3\,\mathrm{V} \\[6pt] V_{\text{bob}}(\infty) &= 10\,\mathrm{V} - 15 \cdot 0{,}50\,\mathrm{V} = 2{,}5\,\mathrm{V} \end{aligned}

Una bobina reale equivale a un induttore ideale in serie con la sua resistenza. Il circuito è quindi un circuito RL in cui la resistenza totale è la somma $R_1 + R_b = 20\,\mathrm{\Omega}$ , e questa somma compare sia nella costante di tempo sia nella corrente di regime.

Il voltmetro ai capi della bobina misura la tensione sull’induttore ideale più quella sulla resistenza $R_b$ . Per l’equazione del circuito la f.e.m. del generatore è uguale alla somma della tensione sul resistore $R_1$ e della tensione sulla bobina, quindi la tensione sulla bobina si ottiene sottraendo $R_1\,i$ da $\mathcal{E}$ . All’istante $\tau$ la corrente è il $63\,\%$ del valore di regime, e il voltmetro segna $5{,}3\,\mathrm{V}$ .

A regime la corrente è costante e la f.e.m. autoindotta è nulla, perciò la bobina si comporta come la sola resistenza $R_b$ . Il voltmetro segna allora $R_b I = 5{,}0 \cdot 0{,}50\,\mathrm{V} = 2{,}5\,\mathrm{V}$ , in accordo con il calcolo. Con un induttore ideale la tensione a regime sarebbe nulla. Il valore $2{,}5\,\mathrm{V}$ permette quindi di misurare la resistenza della bobina.