Esercizi svolti · Scheda 2

Induttanze di solenoidi

Teoria usata: Induttanza di un solenoide Induttanza Solenoide con nucleo di ferro

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Esercizio 1

Un solenoide in aria lungo $\ell = 30\,\mathrm{cm}$ è formato da $N = 600$ spire di raggio $r = 2{,}0\,\mathrm{cm}$ ed è percorso dalla corrente $I = 2{,}0\,\mathrm{A}$ . Considera il solenoide lungo rispetto al raggio delle spire ( $\mu_0 = 4\pi \cdot 10^{-7}\,\mathrm{T\cdot m/A}$ ). Calcola il campo magnetico all’interno, il flusso attraverso una spira, il flusso concatenato con tutto il solenoide e l’induttanza.

B = \mu_0\,\frac{N}{\ell}\,I , \qquad S = \pi r^2 , \qquad \Phi_1 = B S , \qquad \Phi_B = N B S , \qquad L = \frac{\Phi_B}{I} = \frac{\mu_0 N^2 S}{\ell}

\begin{aligned} B &= 4\pi \cdot 10^{-7} \cdot \frac{600}{0{,}30} \cdot 2{,}0\,\mathrm{T} = 5{,}03 \cdot 10^{-3}\,\mathrm{T} \\[6pt] S &= \pi \cdot 0{,}020^2\,\mathrm{m^2} = 1{,}26 \cdot 10^{-3}\,\mathrm{m^2} \\[6pt] \Phi_1 &= 5{,}03 \cdot 10^{-3} \cdot 1{,}26 \cdot 10^{-3}\,\mathrm{Wb} = 6{,}32 \cdot 10^{-6}\,\mathrm{Wb} \\[6pt] \Phi_B &= 600 \cdot 6{,}32 \cdot 10^{-6}\,\mathrm{Wb} = 3{,}79 \cdot 10^{-3}\,\mathrm{Wb} \\[6pt] L &= \frac{3{,}79 \cdot 10^{-3}\,\mathrm{Wb}}{2{,}0\,\mathrm{A}} = 1{,}9 \cdot 10^{-3}\,\mathrm{H} \end{aligned}

Il solenoide è lungo $30\,\mathrm{cm}$ e le spire hanno raggio $2{,}0\,\mathrm{cm}$ , quindi si può considerare lungo rispetto al raggio. Per questo motivo all’interno il campo è uniforme, parallelo all’asse e vale $\mu_0\,\dfrac{N}{\ell}\,I$ , circa $5{,}0\,\mathrm{mT}$ .

Il campo è uniforme e perpendicolare al piano di ogni spira, quindi il flusso attraverso una spira è il prodotto $B S$ . Tutte le $N$ spire sono attraversate dallo stesso flusso, perciò il flusso concatenato con il solenoide è $N$ volte il flusso di una spira. Dividendo questo flusso per la corrente si ottiene l’induttanza, circa $1{,}9\,\mathrm{mH}$ .

Lo stesso valore si ottiene con la formula dell’induttanza di un solenoide, perché $\dfrac{4\pi \cdot 10^{-7} \cdot 600^2 \cdot 1{,}26 \cdot 10^{-3}}{0{,}30}\,\mathrm{H} = 1{,}9 \cdot 10^{-3}\,\mathrm{H}$ . La formula non contiene la corrente, e infatti l’induttanza dipende solo dalla geometria del solenoide.

Esercizio 2

Il solenoide dell’esercizio precedente ha induttanza $L_0 = 1{,}9\,\mathrm{mH}$ . Spiega come cambia l’induttanza, e calcolane il nuovo valore, in ciascuno dei casi seguenti, considerati uno alla volta:

il numero di spire raddoppia, mentre la lunghezza resta la stessa;
la lunghezza raddoppia, mentre il numero di spire resta lo stesso;
il raggio delle spire raddoppia, mentre il solenoide resta lungo rispetto al raggio.

L = \frac{\mu_0 N^2 \pi r^2}{\ell}

\begin{aligned} N \to 2N: \quad L_a &= \frac{\mu_0 (2N)^2 \pi r^2}{\ell} = 4\,L_0 = 7{,}6 \cdot 10^{-3}\,\mathrm{H} \\[6pt] \ell \to 2\ell: \quad L_b &= \frac{\mu_0 N^2 \pi r^2}{2\ell} = \frac{L_0}{2} = 9{,}5 \cdot 10^{-4}\,\mathrm{H} \\[6pt] r \to 2r: \quad L_c &= \frac{\mu_0 N^2 \pi (2r)^2}{\ell} = 4\,L_0 = 7{,}6 \cdot 10^{-3}\,\mathrm{H} \end{aligned}

Nella formula dell’induttanza di un solenoide l’area delle spire si scrive $\pi r^2$ , così che compaiano tutte le grandezze geometriche. In ogni caso si sostituisce la grandezza che cambia e si confronta il risultato con $L_0$ .

Il numero di spire compare al quadrato, quindi raddoppiando $N$ l’induttanza diventa $2^2 = 4$ volte più grande. Il motivo fisico è doppio. Con il doppio delle spire sulla stessa lunghezza il campo interno raddoppia, e il flusso di questo campo doppio si somma su un numero doppio di spire.

La lunghezza compare al denominatore, perciò raddoppiando $\ell$ con lo stesso numero di spire l’induttanza si dimezza. Le spire sono infatti più distanziate e il campo interno è dimezzato. Il raggio compare al quadrato, poiché l’area di una spira è proporzionale a $r^2$ ; raddoppiando il raggio l’area e quindi il flusso diventano quattro volte più grandi, e anche l’induttanza diventa quattro volte più grande.

Esercizio 3

Si vuole costruire un solenoide in aria lungo $\ell = 20\,\mathrm{cm}$ , con spire di raggio $r = 1{,}5\,\mathrm{cm}$ , che abbia induttanza $L = 5{,}0\,\mathrm{mH}$ ( $\mu_0 = 4\pi \cdot 10^{-7}\,\mathrm{T\cdot m/A}$ ). Determina il numero di spire necessario e la lunghezza del filo da avvolgere. Calcola poi quante spire basterebbero per ottenere la stessa induttanza con un nucleo di ferro di permeabilità magnetica relativa $\mu_r = 400$ .

L = \frac{\mu_0 N^2 \pi r^2}{\ell} \quad\Longrightarrow\quad N = \sqrt{\frac{L\,\ell}{\mu_0 \pi r^2}} , \qquad \ell_{\text{filo}} = N \cdot 2\pi r , \qquad N' = \sqrt{\frac{L\,\ell}{\mu_r \mu_0 \pi r^2}} = \frac{N}{\sqrt{\mu_r}}

\begin{aligned} N &= \sqrt{\frac{5{,}0 \cdot 10^{-3} \cdot 0{,}20}{4\pi \cdot 10^{-7} \cdot \pi \cdot 0{,}015^2}} = \sqrt{1{,}13 \cdot 10^6} \approx 1{,}06 \cdot 10^3 \\[6pt] \ell_{\text{filo}} &= 1{,}06 \cdot 10^3 \cdot 2\pi \cdot 0{,}015\,\mathrm{m} \approx 1{,}0 \cdot 10^2\,\mathrm{m} \\[6pt] N' &= \frac{1{,}06 \cdot 10^3}{\sqrt{400}} = \frac{1{,}06 \cdot 10^3}{20} \approx 53 \end{aligned}

Questa volta l’induttanza è nota e l’incognita è il numero di spire. Dalla formula dell’induttanza di un solenoide si moltiplicano entrambi i membri per $\ell$ e si dividono per $\mu_0 \pi r^2$ , così che resti $N^2$ da solo; poi si estrae la radice quadrata. Servono circa $1060$ spire. Ogni spira è una circonferenza di lunghezza $2\pi r$ , quindi la lunghezza del filo è il prodotto del numero di spire per $2\pi r$ , circa $100\,\mathrm{m}$ .

Con un nucleo di ferro di permeabilità relativa $\mu_r$ il campo interno e il flusso sono $\mu_r$ volte più grandi, e nella formula dell’induttanza compare il fattore $\mu_r$ . Perciò nella formula di $N'$ il denominatore sotto radice è moltiplicato per $\mu_r$ , e il numero di spire si divide per $\sqrt{\mu_r} = 20$ . Bastano circa $53$ spire, cioè circa $5\,\mathrm{m}$ di filo. Il risultato è una stima, perché nel ferro la permeabilità relativa dipende dal campo.