Esercizi svolti · Scheda 1

Induttanze e forze elettromotrici autoindotte

Teoria usata: Induttanza F.e.m. autoindotta Verso della f.e.m. autoindotta

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Esercizio 1

Una bobina percorsa dalla corrente $i_1 = 1{,}5\,\mathrm{A}$ ha un flusso autoconcatenato $\Phi_1 = 4{,}5 \cdot 10^{-3}\,\mathrm{Wb}$ . Calcola l’induttanza della bobina. In seguito la corrente cresce in modo uniforme fino a $i_2 = 4{,}5\,\mathrm{A}$ in un intervallo $\Delta t = 20\,\mathrm{ms}$ . Calcola la f.e.m. autoindotta durante la crescita e il flusso autoconcatenato finale.

L = \frac{\Phi_1}{i_1} , \qquad \mathcal{E}_L = -L\,\frac{\Delta i}{\Delta t} , \qquad \Phi_2 = L\,i_2

\begin{aligned} L &= \frac{4{,}5 \cdot 10^{-3}\,\mathrm{Wb}}{1{,}5\,\mathrm{A}} = 3{,}0 \cdot 10^{-3}\,\mathrm{H} \\[6pt] \frac{\Delta i}{\Delta t} &= \frac{4{,}5\,\mathrm{A} - 1{,}5\,\mathrm{A}}{0{,}020\,\mathrm{s}} = 150\,\mathrm{A/s} \\[6pt] \mathcal{E}_L &= -3{,}0 \cdot 10^{-3} \cdot 150\,\mathrm{V} = -0{,}45\,\mathrm{V} \\[6pt] \Phi_2 &= 3{,}0 \cdot 10^{-3} \cdot 4{,}5\,\mathrm{Wb} = 1{,}35 \cdot 10^{-2}\,\mathrm{Wb} \end{aligned}

L’induttanza è il rapporto tra il flusso autoconcatenato e la corrente che lo genera, quindi si divide $\Phi_1$ per $i_1$ e si ottiene $L = 3{,}0\,\mathrm{mH}$ . L’unità è l’henry, perché un weber diviso un ampere è un henry.

La corrente cresce in modo uniforme, perciò la sua derivata è costante e uguale al rapporto tra la variazione $\Delta i = 3{,}0\,\mathrm{A}$ e l’intervallo $\Delta t = 0{,}020\,\mathrm{s}$ . Per la legge della f.e.m. autoindotta si moltiplica questa rapidità per $L$ e si cambia segno. Il risultato è $\mathcal{E}_L = -0{,}45\,\mathrm{V}$ . Il segno meno indica che la f.e.m. agisce in verso opposto alla corrente, come prevede la legge di Lenz per una corrente che cresce.

L’induttanza dipende solo dalla forma della bobina, e quindi non cambia quando cambia la corrente. Il flusso finale si ottiene perciò moltiplicando $L$ per la nuova corrente, ed è tre volte il flusso iniziale, come la corrente.

Esercizio 2

Nella bobina di induttanza $L = 0{,}25\,\mathrm{H}$ la corrente, misurata in ampere con il tempo in secondi, varia secondo la legge $i(t) = 0{,}50\,t^2$ per $0 \leq t \leq 4{,}0\,\mathrm{s}$ . Determina la f.e.m. autoindotta in funzione del tempo e il suo valore all’istante $t_1 = 3{,}0\,\mathrm{s}$ . Calcola in quale istante il modulo della f.e.m. autoindotta vale $1{,}0\,\mathrm{V}$ e la f.e.m. autoindotta media tra $0$ e $4{,}0\,\mathrm{s}$ .

\mathcal{E}_L(t) = -L\,\frac{di}{dt} , \qquad \frac{di}{dt} = 1{,}0\,t

\begin{aligned} \mathcal{E}_L(t) &= -0{,}25 \cdot 1{,}0\,t = -0{,}25\,t \quad (\mathrm{V}) \\[6pt] \mathcal{E}_L(3{,}0\,\mathrm{s}) &= -0{,}25 \cdot 3{,}0\,\mathrm{V} = -0{,}75\,\mathrm{V} \\[6pt] 0{,}25\,t_2 = 1{,}0 \quad &\Longrightarrow \quad t_2 = 4{,}0\,\mathrm{s} \\[6pt] \mathcal{E}_{L,m} &= -L\,\frac{i(4{,}0) - i(0)}{4{,}0} = -0{,}25 \cdot \frac{8{,}0 - 0}{4{,}0}\,\mathrm{V} = -0{,}50\,\mathrm{V} \end{aligned}

La corrente non cresce in modo uniforme, quindi la f.e.m. autoindotta in ogni istante si calcola con la derivata della corrente. La derivata di $0{,}50\,t^2$ è $2 \cdot 0{,}50\,t = 1{,}0\,t$ , in ampere al secondo. Per la legge della f.e.m. autoindotta si moltiplica per $-L$ e si ottiene $\mathcal{E}_L(t) = -0{,}25\,t$ , in volt.

All’istante $3{,}0\,\mathrm{s}$ la f.e.m. vale $-0{,}75\,\mathrm{V}$ . Il suo modulo $0{,}25\,t$ cresce con il tempo, perché la corrente cresce sempre più rapidamente; il modulo raggiunge $1{,}0\,\mathrm{V}$ quando $0{,}25\,t_2 = 1{,}0$ , cioè alla fine dell’intervallo, per $t_2 = 4{,}0\,\mathrm{s}$ .

La f.e.m. media si ottiene dalla variazione totale della corrente, da $0$ a $i(4{,}0) = 0{,}50 \cdot 16\,\mathrm{A} = 8{,}0\,\mathrm{A}$ , divisa per la durata dell’intervallo. Il risultato, $-0{,}50\,\mathrm{V}$ , è la media tra il valore iniziale $0$ e il valore finale $-1{,}0\,\mathrm{V}$ , perché la f.e.m. dipende linearmente dal tempo. Il segno è sempre negativo, poiché la corrente cresce in tutto l’intervallo.

Esercizio 3

In una bobina di induttanza $L = 40\,\mathrm{mH}$ la corrente varia come nel grafico della figura. La corrente cresce in modo uniforme da $0$ a $3{,}0\,\mathrm{A}$ nei primi $2{,}0\,\mathrm{ms}$ , resta costante fino a $4{,}0\,\mathrm{ms}$ e poi diminuisce in modo uniforme fino a $0$ all’istante $10\,\mathrm{ms}$ . Determina la f.e.m. autoindotta in ciascun intervallo, rappresentala in un grafico e spiega il segno con la legge di Lenz.

Corrente nella bobina, in ampere, con il tempo in millisecondi

\mathcal{E}_L = -L\,\frac{\Delta i}{\Delta t}

\begin{aligned} \frac{\Delta i_1}{\Delta t_1} &= \frac{3{,}0\,\mathrm{A}}{2{,}0 \cdot 10^{-3}\,\mathrm{s}} = 1{,}5 \cdot 10^3\,\mathrm{A/s} \\[6pt] \mathcal{E}_1 &= -0{,}040 \cdot 1{,}5 \cdot 10^3\,\mathrm{V} = -60\,\mathrm{V} \end{aligned} \qquad (0 < t < 2{,}0\,\mathrm{ms})

\frac{\Delta i_2}{\Delta t_2} = 0 , \qquad \mathcal{E}_2 = 0 \qquad (2{,}0\,\mathrm{ms} < t < 4{,}0\,\mathrm{ms})

\begin{aligned} \frac{\Delta i_3}{\Delta t_3} &= \frac{-3{,}0\,\mathrm{A}}{6{,}0 \cdot 10^{-3}\,\mathrm{s}} = -500\,\mathrm{A/s} \\[6pt] \mathcal{E}_3 &= -0{,}040 \cdot (-500)\,\mathrm{V} = 20\,\mathrm{V} \end{aligned} \qquad (4{,}0\,\mathrm{ms} < t < 10\,\mathrm{ms})

F.e.m. autoindotta, in volt, con il tempo in millisecondi: vale

- 60 V

mentre la corrente cresce,

0

mentre è costante e

20 V

mentre diminuisce

In ogni intervallo il grafico della corrente è un segmento, quindi la corrente varia in modo uniforme e la sua derivata è il coefficiente angolare del segmento. Nel primo intervallo la corrente aumenta di $3{,}0\,\mathrm{A}$ in $2{,}0\,\mathrm{ms}$ ; nell’ultimo diminuisce di $3{,}0\,\mathrm{A}$ in $6{,}0\,\mathrm{ms}$ , perciò la variazione è negativa. Per la legge della f.e.m. autoindotta si moltiplica ciascun coefficiente angolare per $-L = -0{,}040\,\mathrm{H}$ .

Il grafico della f.e.m. è formato da tre tratti orizzontali, perché in ogni intervallo la derivata della corrente è costante. Nel primo intervallo la corrente cresce, e per la legge di Lenz la f.e.m. autoindotta agisce in verso opposto alla corrente, quindi è negativa. Nel terzo intervallo la corrente diminuisce, e la f.e.m. agisce nello stesso verso della corrente e ne rallenta la diminuzione, quindi è positiva. Il modulo è tre volte più grande nel primo intervallo, perché lì la corrente varia tre volte più rapidamente.