Esercizi svolti · Scheda 3

Divisibilità, numeri primi e divisori

Teoria usata: Criteri di divisibilità Numeri primi Scomposizione in fattori primi Numero dei divisori Multipli e divisori

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Esercizio 1

Quale dei seguenti numeri è divisibile per $9$ ?

A) $1\,236$
B) $5\,412$
C) $7\,371$
D) $8\,124$
E) $6\,303$

1 + 2 + 3 + 6 = 12, \qquad 5 + 4 + 1 + 2 = 12, \qquad 7 + 3 + 7 + 1 = 18

8 + 1 + 2 + 4 = 15, \qquad 6 + 3 + 0 + 3 = 12

Per il criterio di divisibilità per 9 un numero è divisibile per $9$ se la somma delle sue cifre è divisibile per $9$ . L’unica somma divisibile per $9$ è $18$ , quindi il numero cercato è $7\,371$ , e infatti $7\,371 = 9 \cdot 819$ . Le altre somme, $12$ e $15$ , sono divisibili per $3$ , perciò tutti i numeri proposti sono divisibili per $3$ ; chi confonde i due criteri non riesce a scegliere. La risposta corretta è la C.

Esercizio 2

Quale dei seguenti numeri è primo?

A) $91$
B) $87$
C) $119$
D) $133$
E) $103$

91 = 7 \cdot 13, \qquad 87 = 3 \cdot 29, \qquad 119 = 7 \cdot 17, \qquad 133 = 7 \cdot 19

10^2 = 100 < 103 < 121 = 11^2

Per stabilire se un numero minore di $121$ è primo basta dividerlo per $2$ , $3$ , $5$ e $7$ , perché $11^2 = 121$ . Il numero $87$ ha somma delle cifre $15$ , quindi è divisibile per $3$ , mentre $91$ , $119$ e $133$ sono divisibili per $7$ . Il numero $103$ è dispari, ha somma delle cifre $4$ , non termina con $0$ o $5$ e diviso per $7$ dà resto $5$ , perciò è primo. I numeri $91$ , $119$ e $133$ sembrano primi perché non sono divisibili né per $2$ , né per $3$ , né per $5$ . La risposta corretta è la E.

Esercizio 3

In una sala si devono disporre $180$ sedie in file, tutte con lo stesso numero di sedie. Si vogliono almeno $2$ file e almeno $2$ sedie per fila. In quanti modi diversi si può scegliere il numero di sedie per fila?

A) $18$
B) $16$
C) $8$
D) $12$
E) $9$

180 = 2^2 \cdot 3^2 \cdot 5

(2 + 1) \cdot (2 + 1) \cdot (1 + 1) = 18, \qquad 18 - 2 = 16

Il numero di sedie per fila deve essere un divisore di $180$ , perché le file sono tutte uguali. Dalla scomposizione in fattori primi $180 = 2^2 \cdot 3^2 \cdot 5$ si ottiene che i divisori sono $3 \cdot 3 \cdot 2 = 18$ . Tra questi vanno esclusi $180$ , che darebbe una sola fila, e $1$ , che darebbe una sola sedia per fila, quindi le scelte possibili sono $16$ . L’opzione A conta tutti i divisori senza tenere conto delle condizioni del testo, e l’opzione C somma i numeri $2 + 1$ , $2 + 1$ e $1 + 1$ invece di moltiplicarli. La risposta corretta è la B.