Esercizi svolti · Scheda 3

Triangoli con angoli di 30°, 45° e 60°

Teoria usata: Triangoli rettangoli con angoli di 45°, 30° e 60°Classificazione dei triangoli

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Esercizio 1

La diagonale di un quadrato di lato $7$ cm misura:

A) $14$ cm
B) $7\sqrt{2}$ cm
C) $7\sqrt{3}$ cm
D) $49$ cm
E) $\dfrac{7\sqrt{2}}{2}$ cm

d = l\sqrt{2} = 7\sqrt{2}

La diagonale divide il quadrato in due triangoli rettangoli isosceli con cateti di $7$ cm, quindi per il teorema di Pitagora si ha $d = \sqrt{49 + 49} = \sqrt{98} = 7\sqrt{2}$ . Il valore è circa $9{,}9$ cm, compreso tra il lato $7$ e la somma dei due lati $14$ , come accade per ogni ipotenusa. L’opzione C è la diagonale di un cubo di spigolo $7$ , mentre l’opzione E è la metà della diagonale. La risposta corretta è la B.

Esercizio 2

L’altezza di un triangolo equilatero di lato $6$ cm misura:

A) $3\sqrt{3}$ cm
B) $6\sqrt{3}$ cm
C) $9\sqrt{3}$ cm
D) $3\sqrt{2}$ cm
E) $6$ cm

h = \sqrt{6^2 - 3^2} = \sqrt{36 - 9} = \sqrt{27} = 3\sqrt{3}

L’altezza di un triangolo equilatero cade nel punto medio della base, quindi divide il triangolo in due triangoli rettangoli con ipotenusa $6$ e cateto minore $3$ . Per il teorema di Pitagora l’altezza è $\sqrt{27} = 3\sqrt{3}$ , in accordo con la formula $h = \dfrac{l\sqrt{3}}{2}$ . L’opzione C, cioè $9\sqrt{3}$ , è l’area del triangolo, e l’opzione E è il lato. La risposta corretta è la A.

Esercizio 3

Un aquilone è legato a un filo teso lungo $50$ m, fissato a terra. Il filo forma con il terreno orizzontale un angolo di $60^\circ$ . Trascurando la curvatura del filo, l’altezza dell’aquilone dal suolo è:

A) $25$ m
B) $25\sqrt{2}$ m
C) $25\sqrt{3}$ m
D) $50\sqrt{3}$ m
E) $\dfrac{50\sqrt{3}}{3}$ m

\begin{aligned} \text{cateto opposto a } 30^\circ &= \frac{50}{2} = 25 \\[6pt] h = \text{cateto opposto a } 60^\circ &= 25\sqrt{3} \end{aligned}

Il filo teso, la verticale dell'aquilone e il terreno formano un triangolo rettangolo con angoli di

3 0^{\circ}

6 0^{\circ}

Il filo, la verticale che scende dall’aquilone e il terreno formano un triangolo rettangolo con ipotenusa $50$ m e angoli acuti di $60^\circ$ e $30^\circ$ . Questo triangolo è metà di un triangolo equilatero di lato $50$ m, quindi il cateto opposto all’angolo di $30^\circ$ è $25$ m e il cateto opposto all’angolo di $60^\circ$ , cioè l’altezza, è $25\sqrt{3} \approx 43{,}3$ m. L’opzione A è la distanza a terra tra il punto di fissaggio e la verticale dell’aquilone, e corrisponde a chi scambia i due cateti. La risposta corretta è la C.