Esercizi svolti · Scheda 2

Valore di verità di proposizioni composte

Teoria usata: Proposizioni composte e tavole di verità Congiunzione Disgiunzione inclusiva Implicazione Doppia implicazione

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Esercizio 1

La proposizione $A$ è vera e la proposizione $B$ è falsa. Quale delle seguenti proposizioni è vera?

A) $A$ e $B$
B) se $A$ allora $B$
C) $A$ o $B$
D) non $A$ e non $B$
E) $A$ se e solo se $B$

connettivo	valore con $A$ = V e $B$ = F
$A \land B$	F
$A \Rightarrow B$	F
$A \lor B$	V
$\lnot A \land \lnot B$	F
$A \Leftrightarrow B$	F

Si legge la riga VF di ogni tavola di verità. La disgiunzione $A \lor B$ è vera quando almeno una delle due proposizioni è vera, e $A$ è vera, quindi $A \lor B$ è vera. La congiunzione è vera solo quando sono vere entrambe, perciò è falsa. L’implicazione è falsa proprio nel caso in cui l’antecedente è vero e il conseguente è falso. La doppia implicazione è falsa perché $A$ e $B$ hanno valori diversi, e $\lnot A \land \lnot B$ è falsa perché $\lnot A$ è falsa. La risposta corretta è la C.

Esercizio 2

La frase “Se Lucia è in riunione, allora risponde al telefono” è falsa. Quale delle seguenti affermazioni è necessariamente vera?

A) Lucia è in riunione e non risponde al telefono
B) Lucia non è in riunione e risponde al telefono
C) Lucia è in riunione e risponde al telefono
D) Lucia non è in riunione
E) Lucia risponde al telefono oppure non è in riunione

$R$	$T$	$R \Rightarrow T$
V	V	V
V	F	F
F	V	V
F	F	V

Si pone $R$ = “Lucia è in riunione” e $T$ = “Lucia risponde al telefono”. Un’implicazione è falsa in un solo caso, quando l’antecedente è vero e il conseguente è falso, quindi $R$ è vera e $T$ è falsa. Perciò Lucia è in riunione e non risponde al telefono. L’opzione D contraddice $R$ vera. L’opzione E è la frase $\lnot R \lor T$ , che equivale all’implicazione di partenza e quindi è falsa. La risposta corretta è la A.

Esercizio 3

Oggi in un ufficio Paola è presente, Quirino è assente e Rita è presente. Si pone $P$ = “Paola è presente”, $Q$ = “Quirino è presente”, $R$ = “Rita è presente”. Quale delle seguenti proposizioni è falsa?

A) $(P \lor Q) \land R$
B) $Q \Rightarrow \lnot R$
C) $\lnot Q \land R$
D) $P \Leftrightarrow R$
E) $(P \lor R) \Rightarrow Q$

P = \text{V}, \qquad Q = \text{F}, \qquad R = \text{V}

\begin{aligned} (P \lor Q) \land R &= \text{V} \land \text{V} = \text{V} \\[4pt] Q \Rightarrow \lnot R &= \text{F} \Rightarrow \text{F} = \text{V} \\[4pt] \lnot Q \land R &= \text{V} \land \text{V} = \text{V} \\[4pt] P \Leftrightarrow R &= \text{V} \Leftrightarrow \text{V} = \text{V} \\[4pt] (P \lor R) \Rightarrow Q &= \text{V} \Rightarrow \text{F} = \text{F} \end{aligned}

Si sostituiscono i valori di verità e si calcolano prima le espressioni più interne. Nell’opzione E l’antecedente $P \lor R$ è vero, perché Paola è presente, e il conseguente $Q$ è falso, quindi l’implicazione è falsa. L’opzione B ha l’antecedente $Q$ falso, perciò è vera qualunque sia il conseguente; chi la sceglie dimentica che un’implicazione con antecedente falso è vera. L’opzione D è vera perché $P$ e $R$ sono entrambe vere. La risposta corretta è la E.