Esercizi svolti · Scheda 1

Riconoscere condizioni sufficienti e necessarie

Teoria usata: Condizione sufficiente Condizione necessaria Due letture della stessa implicazione I quattro casi possibili

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Esercizio 1

Il regolamento della biblioteca comunale stabilisce: «Basta essere residenti nel comune per ottenere la tessera della biblioteca». Quale delle seguenti frasi ha lo stesso significato?

A) Ottiene la tessera solo chi è residente nel comune.
B) Chi non è residente nel comune non ottiene la tessera.
C) Se una persona è residente nel comune, allora ottiene la tessera.
D) Ottengono la tessera tutti e soli i residenti nel comune.
E) Se una persona ottiene la tessera, allora è residente nel comune.

N = \text{è residente nel comune}, \qquad T = \text{ottiene la tessera}

opzione	implicazione	rispetto alla frase data
A	$T \Rightarrow N$	inversa
B	non $N \Rightarrow$ non $T$	contraria
C	$N \Rightarrow T$	stessa implicazione
D	$N \Rightarrow T$ e $T \Rightarrow N$	aggiunge l’inversa
E	$T \Rightarrow N$	inversa

La parola “basta” introduce una condizione sufficiente, quindi la frase del regolamento si traduce con “se una persona è residente, allora ottiene la tessera”. L’opzione C è questa stessa implicazione scritta con “se … allora”. Le opzioni A ed E dicono che la residenza è necessaria, cioè invertono il verso della freccia, e l’opzione B è la contraria, che equivale all’inversa. L’opzione D aggiunge l’inversa all’implicazione data, perciò dice più di quanto stabilisce il regolamento. La risposta corretta è la C.

Esercizio 2

Per un numero intero $n$ , l’affermazione « $n$ è multiplo di $10$ », rispetto all’affermazione « $n$ è multiplo di $5$ », è condizione:

A) necessaria ma non sufficiente
B) sufficiente ma non necessaria
C) necessaria e sufficiente
D) né necessaria né sufficiente
E) necessaria e sufficiente solo per i numeri positivi

$n$	multiplo di $10$	multiplo di $5$
$20$	V	V
$30$	V	V
$15$	F	V
$7$	F	F

I multipli di

10

sono contenuti nei multipli di

5

, mentre

5

15

25

sono multipli di

5

e non di

10

Se $n$ è multiplo di $10$ , allora $n = 10k = 5 \cdot 2k$ per un intero $k$ , quindi $n$ è multiplo di $5$ . Perciò essere multiplo di $10$ è condizione sufficiente. L’implicazione inversa non vale, perché $15$ è multiplo di $5$ e non di $10$ , e questo controesempio mostra che la condizione non è necessaria. Lo stesso controesempio vale tra i numeri positivi, quindi l’opzione E è falsa. Chi sceglie A scambia i ruoli delle due affermazioni. La risposta corretta è la B.

Esercizio 3

Il regolamento di un condominio stabilisce: «Un’auto può sostare nel cortile solo se espone il contrassegno». Se la regola è rispettata, quale delle seguenti affermazioni è necessariamente vera?

A) Ogni auto che espone il contrassegno sosta nel cortile.
B) Un’auto che non sosta nel cortile non espone il contrassegno.
C) Esporre il contrassegno basta per avere il posto nel cortile.
D) Un’auto sosta nel cortile se e solo se espone il contrassegno.
E) Ogni auto che sosta nel cortile espone il contrassegno.

P = \text{l'auto sosta nel cortile}, \qquad E = \text{l'auto espone il contrassegno}

opzione	implicazione	segue dalla regola?
A	$E \Rightarrow P$	no
B	non $P \Rightarrow$ non $E$	no
C	$E \Rightarrow P$	no
D	$P \Rightarrow E$ e $E \Rightarrow P$	no
E	$P \Rightarrow E$	sì

L’espressione “solo se” introduce una condizione necessaria, quindi la regola si traduce con “se un’auto sosta nel cortile, allora espone il contrassegno”. L’opzione E dice esattamente questo. Le opzioni A e C trattano il contrassegno come condizione sufficiente, cioè leggono “solo se” come “se”. Le due opzioni non seguono dalla regola, perché un’auto con il contrassegno può stare in strada senza violarla. L’opzione B è la contraria, che equivale all’inversa, e l’opzione D contiene anch’essa l’inversa. La risposta corretta è la E.