Esercizi svolti · Scheda 3

Composizione relativistica delle velocità

Teoria usata: Composizione relativistica delle velocità La velocità della luce composta con un'altra velocità Composizione galileiana delle velocità

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Esercizio 1

Un’astronave si allontana dalla Terra con velocità $v = 0{,}50\,c$ e lancia in avanti una sonda, che rispetto all’astronave ha velocità $u' = 0{,}60\,c$ . Calcola la velocità della sonda rispetto alla Terra e confrontala con il risultato della composizione galileiana.

u = \frac{u' + v}{1 + \dfrac{u'\, v}{c^2}}

u = \frac{0{,}60\,c + 0{,}50\,c}{1 + 0{,}60 \cdot 0{,}50} = \frac{1{,}10\,c}{1{,}30} \approx 0{,}846\,c

u_{\text{gal}} = u' + v = 1{,}10\,c

Si orienta l’asse $x$ nel verso del moto dell’astronave, e si prende come $S$ il sistema della Terra e come $S'$ il sistema dell’astronave, che si muove rispetto a $S$ con velocità $v = 0{,}50\,c$ . La sonda ha velocità $u' = 0{,}60\,c$ rispetto a $S'$ , nello stesso verso, quindi entrambe le velocità sono positive. Per la composizione relativistica delle velocità la velocità della sonda rispetto alla Terra è la somma $u' + v$ divisa per $1 + \dfrac{u'\, v}{c^2}$ .

Il prodotto $\dfrac{u'\, v}{c^2}$ vale $0{,}60 \cdot 0{,}50 = 0{,}30$ , perché le velocità sono espresse in unità di $c$ . Perciò la sonda si muove rispetto alla Terra con velocità circa $0{,}85\,c$ , minore di $c$ . La composizione galileiana darebbe invece $1{,}10\,c$ , una velocità maggiore di quella della luce, che non è compatibile con i postulati di Einstein.

Esercizio 2

Due astronavi $A$ e $B$ si avvicinano alla Terra da versi opposti, ciascuna con velocità di modulo $0{,}80\,c$ rispetto alla Terra; $A$ arriva da sinistra e $B$ da destra. Calcola la velocità di $B$ rispetto all’astronave $A$ .

Le due astronavi si avvicinano alla Terra da versi opposti, ciascuna con velocità di modulo

0, 80 c

; l'asse

x

è orientato da

A

verso

B

v = +0{,}80\,c , \qquad u = -0{,}80\,c

u = \frac{u' + v}{1 + \dfrac{u'\, v}{c^2}} \quad\Longrightarrow\quad u' = \frac{u - v}{1 - \dfrac{u\, v}{c^2}}

u' = \frac{-0{,}80\,c - 0{,}80\,c}{1 - (-0{,}80) \cdot 0{,}80} = \frac{-1{,}60\,c}{1{,}64} \approx -0{,}976\,c

Si orienta l’asse $x$ da $A$ verso $B$ . Il sistema $S$ è quello della Terra e il sistema $S'$ è quello dell’astronave $A$ , che si muove verso destra, quindi $v = +0{,}80\,c$ . L’astronave $B$ si muove verso sinistra, perciò la sua velocità rispetto alla Terra è $u = -0{,}80\,c$ , e la grandezza cercata è la velocità $u'$ di $B$ rispetto ad $A$ .

La formula di composizione relativistica delle velocità dà $u$ in funzione di $u'$ . Per ottenere $u'$ si usa la stessa formula con i ruoli dei due sistemi scambiati. La Terra si muove rispetto ad $A$ con velocità $-v$ , quindi si sostituisce $v$ con $-v$ e si scambia $u$ con $u'$ . Il denominatore vale $1 - (-0{,}80)(0{,}80) = 1 + 0{,}64 = 1{,}64$ .

Si ottiene $u' \approx -0{,}976\,c$ . Il segno meno indica che, per l’equipaggio di $A$ , l’astronave $B$ si avvicina da destra verso sinistra, con velocità di modulo circa $0{,}98\,c$ . La composizione galileiana darebbe $1{,}60\,c$ , mentre la composizione relativistica dà un valore minore di $c$ .

Esercizio 3

Un’astronave si muove con velocità $v = 0{,}50\,c$ rispetto a una stazione spaziale, verso destra. Dall’astronave vengono emessi verso sinistra, cioè all’indietro, un impulso di luce e un fascio di elettroni che ha velocità $0{,}90\,c$ rispetto all’astronave. Calcola le velocità dell’impulso di luce e degli elettroni rispetto alla stazione.

u'_{\text{luce}} = -c , \qquad u'_{\text{el}} = -0{,}90\,c , \qquad v = +0{,}50\,c

u_{\text{luce}} = \frac{-c + 0{,}50\,c}{1 + \dfrac{(-c) \cdot 0{,}50\,c}{c^2}} = \frac{-0{,}50\,c}{0{,}50} = -c

u_{\text{el}} = \frac{-0{,}90\,c + 0{,}50\,c}{1 + (-0{,}90) \cdot 0{,}50} = \frac{-0{,}40\,c}{0{,}55} \approx -0{,}727\,c

Con l’asse $x$ orientato verso destra, l’astronave ha velocità $v = +0{,}50\,c$ rispetto alla stazione, e l’impulso e gli elettroni, emessi all’indietro, hanno velocità negative rispetto all’astronave. Per la composizione relativistica delle velocità si sostituiscono questi valori nella formula, ciascuno con il proprio segno.

Per la luce il numeratore vale $-0{,}50\,c$ e il denominatore $1 - 0{,}50 = 0{,}50$ , quindi l’impulso ha velocità $-c$ rispetto alla stazione. L’impulso si muove perciò verso sinistra con velocità di modulo esattamente $c$ , come afferma il postulato dell’invarianza della velocità della luce; la composizione galileiana avrebbe dato $0{,}50\,c$ .

Per gli elettroni il numeratore vale $-0{,}40\,c$ e il denominatore $1 - 0{,}45 = 0{,}55$ , quindi la loro velocità rispetto alla stazione è circa $-0{,}73\,c$ . Gli elettroni si muovono verso sinistra anche rispetto alla stazione, con velocità di modulo maggiore del valore galileiano $0{,}40\,c$ .

Esercizio 4

Un’astronave si muove rispetto alla Terra con velocità $v = 0{,}70\,c$ e lancia in avanti una sonda. Determina la velocità che la sonda deve avere rispetto all’astronave perché la sua velocità rispetto alla Terra sia $0{,}90\,c$ .

u = \frac{u' + v}{1 + \dfrac{u'\, v}{c^2}} \quad\Longrightarrow\quad u \left( 1 + \frac{u'\, v}{c^2} \right) = u' + v

u'\left( \frac{u\, v}{c^2} - 1 \right) = v - u \quad\Longrightarrow\quad u' = \frac{u - v}{1 - \dfrac{u\, v}{c^2}}

u' = \frac{0{,}90\,c - 0{,}70\,c}{1 - 0{,}90 \cdot 0{,}70} = \frac{0{,}20\,c}{0{,}37} \approx 0{,}54\,c

L’incognita è la velocità $u'$ della sonda rispetto all’astronave, e sono noti $u = 0{,}90\,c$ e $v = 0{,}70\,c$ . Si moltiplicano i due membri della formula di composizione relativistica delle velocità per il denominatore $1 + \dfrac{u'\, v}{c^2}$ , che è positivo. Si portano poi a sinistra i termini che contengono $u'$ e a destra gli altri, e si raccoglie $u'$ .

Dividendo per $\dfrac{u\, v}{c^2} - 1$ e cambiando il segno a numeratore e denominatore si ottiene $u' = \dfrac{u - v}{1 - \dfrac{u\, v}{c^2}}$ . Sostituendo i dati si trova che la sonda deve avere velocità circa $0{,}54\,c$ rispetto all’astronave, mentre la composizione galileiana darebbe solo $0{,}20\,c$ .

Come controllo si compongono $0{,}54\,c$ e $0{,}70\,c$ con la formula diretta. Con il valore più preciso $u' = \dfrac{20}{37}\,c \approx 0{,}5405\,c$ si ottiene $\dfrac{0{,}5405 + 0{,}70}{1 + 0{,}5405 \cdot 0{,}70}\,c = \dfrac{1{,}2405}{1{,}3784}\,c \approx 0{,}900\,c$ , che è la velocità richiesta.