Problemi sugli acceleratori e sulla velocità limite

Esercizio 1

Un acceleratore lineare produce un fascio di elettroni con energia cinetica $K=4,50\mathrm{MeV}$ e corrente $I=2,00\mu \mathrm{A}$. Il fascio incide perpendicolarmente su un bersaglio che assorbe tutti gli elettroni. Calcola il numero di elettroni che arrivano sul bersaglio ogni secondo, la potenza trasportata dal fascio, la quantità di moto di un elettrone e la forza media che il fascio esercita sul bersaglio. Usa $e=1,60\cdot 10^{-19}\mathrm{C}$, $m_e{c}^2=0,511\mathrm{MeV}$, $1\mathrm{MeV}=1,60\cdot 10^{-13}\mathrm{J}$ e $1\mathrm{MeV}/c=5,33\cdot 10^{-22}\mathrm{kg}\cdot m/s$.

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Esercizio 2

In un esperimento si misura il tempo che elettroni di energia cinetica nota impiegano a percorrere, nel vuoto, un tratto rettilineo lungo $d=8,40\mathrm{m}$. Gli elettroni sono prodotti da un acceleratore regolabile e l’energia cinetica $K$ è misurata dal calore che essi cedono a un bersaglio. Usa $m_e{c}^2=0,511\mathrm{MeV}$ e $c=3,00\cdot 10^{8}m/s$. I tempi misurati sono riportati nella tabella seguente:

$K(\mathrm{MeV})$	$0,50$	$1,00$	$1,50$	$4,50$
$t(\mathrm{ns})$	$32,5$	$29,8$	$29,0$	$28,1$

1. Calcola dai dati sperimentali la velocità degli elettroni, in unità di $c$, per ciascuna energia.
2. Calcola, per le stesse energie, la velocità prevista dalla formula classica $K=\frac{1}{2}{m}_e{v}^2$, e spiega perché i dati sperimentali sono in contraddizione con la meccanica classica.
3. Calcola le velocità previste dalla relatività ristretta e confrontale con i dati, tracciando il grafico di $\beta$ in funzione di $K$.
4. Determina il tempo minimo che un elettrone può impiegare a percorrere il tratto, qualunque sia la sua energia, e l’energia cinetica di un elettrone che impiega $29,0\mathrm{ns}$ secondo la relatività.

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