Esercizi svolti · Scheda 3

Lunghezza d'onda, frequenza e campi di un'onda

Teoria usata: Relazione tra lunghezza d'onda e frequenza Relazione tra i campi di un'onda Velocità delle onde elettromagnetiche Onda elettromagnetica Spettro elettromagnetico

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Esercizio 1

Una stazione radio trasmette in modulazione di frequenza alla frequenza $f = 104\,\mathrm{MHz}$ . Calcola la lunghezza d’onda e il periodo delle onde emesse, e il tempo che esse impiegano a raggiungere un ricevitore a $30\,\mathrm{km}$ dall’antenna ( $c = 3{,}00 \cdot 10^{8}\,\mathrm{m/s}$ ).

c = \lambda f \quad\Longrightarrow\quad \lambda = \frac{c}{f} , \qquad T = \frac{1}{f} , \qquad \Delta t = \frac{d}{c}

\begin{aligned} \lambda &= \frac{3{,}00 \cdot 10^{8}\,\mathrm{m/s}}{1{,}04 \cdot 10^{8}\,\mathrm{Hz}} \approx 2{,}88\,\mathrm{m} \\[6pt] T &= \frac{1}{1{,}04 \cdot 10^{8}\,\mathrm{Hz}} \approx 9{,}62 \cdot 10^{-9}\,\mathrm{s} \\[6pt] \Delta t &= \frac{3{,}0 \cdot 10^{4}\,\mathrm{m}}{3{,}00 \cdot 10^{8}\,\mathrm{m/s}} = 1{,}0 \cdot 10^{-4}\,\mathrm{s} \end{aligned}

Le onde radio sono onde elettromagnetiche, e nell’aria si propagano con velocità praticamente uguale a $c$ . Per la relazione tra lunghezza d’onda e frequenza si ha $\lambda = \dfrac{c}{f}$ ; prima della sostituzione si scrive la frequenza in hertz, $104\,\mathrm{MHz} = 1{,}04 \cdot 10^{8}\,\mathrm{Hz}$ . La lunghezza d’onda è di circa $2{,}9\,\mathrm{m}$ , quindi l’onda appartiene alla banda delle onde radio dello spettro elettromagnetico.

Il periodo è l’inverso della frequenza, circa $9{,}6\,\mathrm{ns}$ . Il segnale si propaga con velocità costante $c$ , quindi il tempo per percorrere $30\,\mathrm{km}$ è la distanza divisa per $c$ , cioè un decimo di millisecondo.

Esercizio 2

Un’onda di luce blu nel vuoto ha lunghezza d’onda $\lambda = 480\,\mathrm{nm}$ , e il suo campo elettrico ha ampiezza $E_0 = 36\,\mathrm{V/m}$ . Calcola la frequenza, il periodo e l’ampiezza del campo magnetico dell’onda, e indica la direzione del campo magnetico nell’istante in cui l’onda si propaga verso est e il campo elettrico è rivolto verso l’alto ( $c = 3{,}00 \cdot 10^{8}\,\mathrm{m/s}$ ).

f = \frac{c}{\lambda} , \qquad T = \frac{1}{f} = \frac{\lambda}{c} , \qquad B_0 = \frac{E_0}{c}

\begin{aligned} f &= \frac{3{,}00 \cdot 10^{8}\,\mathrm{m/s}}{4{,}80 \cdot 10^{-7}\,\mathrm{m}} = 6{,}25 \cdot 10^{14}\,\mathrm{Hz} \\[6pt] T &= \frac{4{,}80 \cdot 10^{-7}\,\mathrm{m}}{3{,}00 \cdot 10^{8}\,\mathrm{m/s}} = 1{,}60 \cdot 10^{-15}\,\mathrm{s} \\[6pt] B_0 &= \frac{36\,\mathrm{V/m}}{3{,}00 \cdot 10^{8}\,\mathrm{m/s}} = 1{,}2 \cdot 10^{-7}\,\mathrm{T} \end{aligned}

Per la relazione tra lunghezza d’onda e frequenza la frequenza è $\dfrac{c}{\lambda}$ , con la lunghezza d’onda espressa in metri, cioè $480\,\mathrm{nm} = 4{,}80 \cdot 10^{-7}\,\mathrm{m}$ . Il periodo è l’inverso della frequenza. Il valore di $f$ è compreso tra $4{,}0 \cdot 10^{14}\,\mathrm{Hz}$ e $7{,}9 \cdot 10^{14}\,\mathrm{Hz}$ , come deve essere per la luce visibile.

Nell’onda i moduli dei campi soddisfano in ogni istante $E = cB$ , quindi anche le ampiezze soddisfano $E_0 = c B_0$ , e il campo magnetico ha ampiezza $1{,}2 \cdot 10^{-7}\,\mathrm{T}$ . Questo valore è circa quattrocento volte più piccolo del campo magnetico terrestre.

Per la direzione, $\vec{B}$ è perpendicolare sia a $\vec{E}$ sia alla direzione di propagazione, quindi è orizzontale e diretto lungo la linea nord-sud. Il verso si sceglie in modo che $\vec{E} \times \vec{B}$ sia rivolto verso est. Con la regola della mano destra, il pollice verso l’alto lungo $\vec{E}$ e il palmo rivolto verso est, lungo $\vec{E} \times \vec{B}$ , le altre dita indicano il sud. In quell’istante il campo magnetico è perciò diretto verso sud.

Esercizio 3

Un radar emette un impulso di microonde di frequenza $f = 3{,}0\,\mathrm{GHz}$ verso un aereo. L’eco riflessa dall’aereo torna al radar $120\,\mu\mathrm{s}$ dopo l’emissione. Calcola la lunghezza d’onda delle microonde e la distanza dell’aereo dal radar, trascurando l’effetto dell’aria sulla velocità dell’onda ( $c = 3{,}00 \cdot 10^{8}\,\mathrm{m/s}$ ).

\lambda = \frac{c}{f} , \qquad 2d = c\,\Delta t \quad\Longrightarrow\quad d = \frac{c\,\Delta t}{2}

\begin{aligned} \lambda &= \frac{3{,}00 \cdot 10^{8}\,\mathrm{m/s}}{3{,}0 \cdot 10^{9}\,\mathrm{Hz}} = 0{,}10\,\mathrm{m} \\[6pt] d &= \frac{3{,}00 \cdot 10^{8}\,\mathrm{m/s} \cdot 1{,}20 \cdot 10^{-4}\,\mathrm{s}}{2} = 1{,}8 \cdot 10^{4}\,\mathrm{m} \end{aligned}

La lunghezza d’onda segue dalla relazione tra lunghezza d’onda e frequenza, ed è di $10\,\mathrm{cm}$ , un valore tipico della banda delle microonde. L’impulso va dal radar all’aereo e torna indietro, quindi nel tempo $\Delta t$ percorre il doppio della distanza $d$ . Le onde elettromagnetiche si propagano con velocità costante $c$ , perciò $2d = c\,\Delta t$ , e dividendo per $2$ si ottiene $d = 18\,\mathrm{km}$ . Il radar sfrutta proprio il fatto che la velocità delle onde elettromagnetiche è nota e non dipende dalla frequenza.