Esercizi svolti · Scheda 3

Equazione di Einstein e frequenza di soglia

Teoria usata: Equazione di Einstein per l'effetto fotoelettrico Frequenza e lunghezza d'onda di soglia Lavoro di estrazione Ipotesi dei fotoni di Einstein Energia del fotone in elettronvolt

Vai a: Esercizio 1 Esercizio 2 Esercizio 3

Esercizio 1

Una lastra di sodio, con lavoro di estrazione $W_0 = 2{,}30\,\mathrm{eV}$ , è illuminata con luce violetta di lunghezza d’onda $\lambda = 410\,\mathrm{nm}$ . Calcola l’energia dei fotoni, l’energia cinetica massima dei fotoelettroni e la loro velocità massima. Usa $h = 6{,}63 \cdot 10^{-34}\,\mathrm{J\cdot s}$ , $c = 3{,}00 \cdot 10^{8}\,\mathrm{m/s}$ , $1\,\mathrm{eV} = 1{,}60 \cdot 10^{-19}\,\mathrm{J}$ e $m_e = 9{,}11 \cdot 10^{-31}\,\mathrm{kg}$ .

Bilancio dell'energia per l'elettrone meno legato: l'energia

h f = 3, 03 eV

del fotone serve per

W_{0} = 2, 30 eV

a uscire dal metallo, e il resto è energia cinetica

K_{m a x}

E = \frac{h c}{\lambda} , \qquad K_{\max} = h f - W_0 , \qquad K_{\max} = \frac{1}{2} m_e v_{\max}^2 \quad\Longrightarrow\quad v_{\max} = \sqrt{\frac{2 K_{\max}}{m_e}}

\begin{aligned} E &= \frac{6{,}63 \cdot 10^{-34} \cdot 3{,}00 \cdot 10^{8}}{4{,}10 \cdot 10^{-7}}\,\mathrm{J} \approx 4{,}85 \cdot 10^{-19}\,\mathrm{J} \approx 3{,}03\,\mathrm{eV} \\[6pt] K_{\max} &= 3{,}03\,\mathrm{eV} - 2{,}30\,\mathrm{eV} = 0{,}73\,\mathrm{eV} \approx 1{,}17 \cdot 10^{-19}\,\mathrm{J} \\[6pt] v_{\max} &= \sqrt{\frac{2 \cdot 1{,}17 \cdot 10^{-19}}{9{,}11 \cdot 10^{-31}}}\,\mathrm{m/s} \approx 5{,}1 \cdot 10^{5}\,\mathrm{m/s} \end{aligned}

L’energia del fotone si calcola con $E = \dfrac{hc}{\lambda}$ e si converte in elettronvolt dividendo per $1{,}60 \cdot 10^{-19}$ , così da poterla confrontare con il lavoro di estrazione. Il fotone ha $3{,}03\,\mathrm{eV}$ , più del lavoro di estrazione del sodio, quindi l’effetto fotoelettrico avviene.

Per l’equazione di Einstein l’elettrone meno legato riceve tutta l’energia del fotone e ne spende $W_0$ per uscire dal metallo; l’energia che resta è l’energia cinetica massima, $0{,}73\,\mathrm{eV}$ . Per ricavare la velocità serve l’energia in joule, $0{,}73 \cdot 1{,}60 \cdot 10^{-19}\,\mathrm{J} \approx 1{,}17 \cdot 10^{-19}\,\mathrm{J}$ .

La velocità risulta circa $5{,}1 \cdot 10^{5}\,\mathrm{m/s}$ , cioè circa lo $0{,}17\%$ di $c$ . Poiché $v \ll c$ , l’uso della formula classica $\dfrac{1}{2} m_e v^2$ per l’energia cinetica è giustificato.

Esercizio 2

Il cesio ha lavoro di estrazione $W_0 = 2{,}10\,\mathrm{eV}$ . Determina la frequenza di soglia e la lunghezza d’onda di soglia. Stabilisci se la luce rossa con $\lambda_1 = 680\,\mathrm{nm}$ e la luce verde con $\lambda_2 = 520\,\mathrm{nm}$ producono l’effetto fotoelettrico e, quando lo producono, calcola l’energia cinetica massima dei fotoelettroni. Usa $h = 6{,}63 \cdot 10^{-34}\,\mathrm{J\cdot s}$ , $c = 3{,}00 \cdot 10^{8}\,\mathrm{m/s}$ e $1\,\mathrm{eV} = 1{,}60 \cdot 10^{-19}\,\mathrm{J}$ .

f_0 = \frac{W_0}{h} , \qquad \lambda_0 = \frac{c}{f_0} = \frac{h c}{W_0}

\begin{aligned} f_0 &= \frac{2{,}10 \cdot 1{,}60 \cdot 10^{-19}}{6{,}63 \cdot 10^{-34}}\,\mathrm{Hz} \approx 5{,}07 \cdot 10^{14}\,\mathrm{Hz} \\[6pt] \lambda_0 &= \frac{3{,}00 \cdot 10^{8}}{5{,}07 \cdot 10^{14}}\,\mathrm{m} \approx 5{,}92 \cdot 10^{-7}\,\mathrm{m} = 592\,\mathrm{nm} \end{aligned}

\lambda_1 = 680\,\mathrm{nm} > \lambda_0 , \qquad E_1 = \frac{h c}{\lambda_1} \approx 1{,}83\,\mathrm{eV} < W_0

\lambda_2 = 520\,\mathrm{nm} < \lambda_0 , \qquad E_2 = \frac{h c}{\lambda_2} \approx 2{,}39\,\mathrm{eV} , \qquad K_{\max} = 2{,}39\,\mathrm{eV} - 2{,}10\,\mathrm{eV} \approx 0{,}29\,\mathrm{eV}

Un elettrone esce dal metallo solo se l’energia del fotone è almeno uguale al lavoro di estrazione, cioè se $hf \ge W_0$ . La frequenza di soglia è quindi $f_0 = \dfrac{W_0}{h}$ , con $W_0$ espresso in joule: $2{,}10\,\mathrm{eV} = 3{,}36 \cdot 10^{-19}\,\mathrm{J}$ . La lunghezza d’onda di soglia è $\lambda_0 = \dfrac{c}{f_0} \approx 592\,\mathrm{nm}$ , nella luce arancione. Poiché l’energia del fotone diminuisce quando la lunghezza d’onda aumenta, l’effetto avviene per $\lambda \le \lambda_0$ .

La luce rossa ha $\lambda_1 > \lambda_0$ ; i suoi fotoni hanno $1{,}83\,\mathrm{eV}$ , meno di $W_0$ , perciò non estraggono elettroni, qualunque sia l’intensità della luce. La luce verde ha $\lambda_2 < \lambda_0$ , quindi produce l’effetto. Per l’equazione di Einstein l’energia cinetica massima è la differenza tra l’energia del fotone e il lavoro di estrazione, circa $0{,}29\,\mathrm{eV}$ .

Esercizio 3

Un metallo incognito è illuminato con luce ultravioletta di lunghezza d’onda $\lambda = 250\,\mathrm{nm}$ , e i fotoelettroni più veloci hanno energia cinetica $K_{\max} = 0{,}67\,\mathrm{eV}$ . Determina il lavoro di estrazione del metallo e la sua lunghezza d’onda di soglia. Confrontando con i valori dello zinco ( $4{,}3\,\mathrm{eV}$ ) e del rame ( $4{,}7\,\mathrm{eV}$ ), riconosci il metallo. Usa $h = 6{,}63 \cdot 10^{-34}\,\mathrm{J\cdot s}$ , $c = 3{,}00 \cdot 10^{8}\,\mathrm{m/s}$ e $1\,\mathrm{eV} = 1{,}60 \cdot 10^{-19}\,\mathrm{J}$ .

K_{\max} = \frac{h c}{\lambda} - W_0 \quad\Longrightarrow\quad W_0 = \frac{h c}{\lambda} - K_{\max} , \qquad \lambda_0 = \frac{h c}{W_0}

\begin{aligned} \frac{h c}{\lambda} &= \frac{6{,}63 \cdot 10^{-34} \cdot 3{,}00 \cdot 10^{8}}{2{,}50 \cdot 10^{-7}}\,\mathrm{J} \approx 7{,}96 \cdot 10^{-19}\,\mathrm{J} \approx 4{,}97\,\mathrm{eV} \\[6pt] W_0 &= 4{,}97\,\mathrm{eV} - 0{,}67\,\mathrm{eV} = 4{,}30\,\mathrm{eV} \\[6pt] \lambda_0 &= \frac{6{,}63 \cdot 10^{-34} \cdot 3{,}00 \cdot 10^{8}}{4{,}30 \cdot 1{,}60 \cdot 10^{-19}}\,\mathrm{m} \approx 2{,}89 \cdot 10^{-7}\,\mathrm{m} = 289\,\mathrm{nm} \end{aligned}

In questo problema l’incognita è il lavoro di estrazione. Dall’equazione di Einstein si isola $W_0$ portando $K_{\max}$ al primo membro, quindi $W_0$ è l’energia del fotone meno l’energia cinetica massima. Il fotone ha $4{,}97\,\mathrm{eV}$ e l’elettrone esce con al più $0{,}67\,\mathrm{eV}$ , perciò il lavoro di estrazione è $4{,}30\,\mathrm{eV}$ .

Il valore coincide con quello dello zinco e si distingue da quello del rame, quindi il metallo è zinco. La lunghezza d’onda di soglia, $\lambda_0 = \dfrac{hc}{W_0} \approx 289\,\mathrm{nm}$ , è nell’ultravioletto. Per questo lo zinco emette elettroni solo se illuminato con luce ultravioletta, come nell’esperienza dell’elettroscopio.