Esercizi svolti · Scheda 1

Leggi di Stefan-Boltzmann e di Wien

Teoria usata: Legge di Stefan-Boltzmann Legge dello spostamento di Wien Corpo nero Radiazione emessa dal corpo umano Temperatura superficiale del Sole

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Esercizio 1

Lo spettro della stella A ha il massimo a $\lambda_A = 290\,\mathrm{nm}$ , quello della stella B a $\lambda_B = 725\,\mathrm{nm}$ . Trattando le stelle come corpi neri, determina le loro temperature superficiali e il rapporto tra le potenze emesse da $1\,\mathrm{m^2}$ di superficie di A e da $1\,\mathrm{m^2}$ di superficie di B. La costante di Wien è $2{,}90 \cdot 10^{-3}\,\mathrm{m\cdot K}$ .

\lambda_{\max}\, T = 2{,}90 \cdot 10^{-3}\,\mathrm{m\cdot K} \quad\Longrightarrow\quad T = \frac{2{,}90 \cdot 10^{-3}\,\mathrm{m\cdot K}}{\lambda_{\max}}

\frac{P_A}{P_B} = \frac{\sigma A T_A^4}{\sigma A T_B^4} = \left( \frac{T_A}{T_B} \right)^4 = \left( \frac{\lambda_B}{\lambda_A} \right)^4

\begin{aligned} T_A &= \frac{2{,}90 \cdot 10^{-3}}{2{,}90 \cdot 10^{-7}}\,\mathrm{K} = 1{,}00 \cdot 10^{4}\,\mathrm{K} \\[6pt] T_B &= \frac{2{,}90 \cdot 10^{-3}}{7{,}25 \cdot 10^{-7}}\,\mathrm{K} = 4{,}00 \cdot 10^{3}\,\mathrm{K} \\[6pt] \frac{P_A}{P_B} &= \left( \frac{725}{290} \right)^4 = 2{,}5^4 \approx 39 \end{aligned}

Le stelle si trattano come corpi neri, quindi la lunghezza d’onda del massimo e la temperatura sono legate dalla legge di Wien. Ricavando $T$ dalla legge si divide la costante di Wien per la lunghezza d’onda, espressa in metri: $290\,\mathrm{nm} = 2{,}90 \cdot 10^{-7}\,\mathrm{m}$ e $725\,\mathrm{nm} = 7{,}25 \cdot 10^{-7}\,\mathrm{m}$ . La stella A, con il massimo nell’ultravioletto, è azzurra; la stella B, con il massimo al confine tra rosso e infrarosso, è rossa.

Per la legge di Stefan-Boltzmann la potenza emessa da una superficie di area $A$ è $\sigma A T^4$ . Le due superfici hanno la stessa area di $1\,\mathrm{m^2}$ , quindi nel rapporto $\sigma$ e $A$ si semplificano e resta la quarta potenza del rapporto delle temperature. Poiché $T$ è inversamente proporzionale a $\lambda_{\max}$ , il rapporto $\dfrac{T_A}{T_B}$ è uguale a $\dfrac{\lambda_B}{\lambda_A} = 2{,}5$ . Perciò ogni metro quadrato della stella A emette circa 39 volte la potenza di un metro quadrato della stella B.

Esercizio 2

Il Sole ha raggio $R_S = 6{,}96 \cdot 10^{8}\,\mathrm{m}$ e temperatura superficiale $T = 5800\,\mathrm{K}$ , e dista $d = 1{,}50 \cdot 10^{11}\,\mathrm{m}$ dalla Terra. Trattando il Sole come un corpo nero, calcola la potenza totale che emette, l’intensità della radiazione solare alla distanza della Terra e la lunghezza d’onda del massimo di emissione. Usa $\sigma = 5{,}67 \cdot 10^{-8}\,\mathrm{W/(m^2\cdot K^4)}$ e la costante di Wien $2{,}90 \cdot 10^{-3}\,\mathrm{m\cdot K}$ .

P = \sigma \cdot 4\pi R_S^2 \cdot T^4 , \qquad I = \frac{P}{4\pi d^2} , \qquad \lambda_{\max} = \frac{2{,}90 \cdot 10^{-3}\,\mathrm{m\cdot K}}{T}

\begin{aligned} P &= 5{,}67 \cdot 10^{-8} \cdot 4\pi \cdot \left( 6{,}96 \cdot 10^{8} \right)^2 \cdot 5800^4\,\mathrm{W} \approx 3{,}91 \cdot 10^{26}\,\mathrm{W} \\[6pt] I &= \frac{3{,}91 \cdot 10^{26}}{4\pi \cdot \left( 1{,}50 \cdot 10^{11} \right)^2}\,\mathrm{W/m^2} \approx 1{,}38 \cdot 10^{3}\,\mathrm{W/m^2} \\[6pt] \lambda_{\max} &= \frac{2{,}90 \cdot 10^{-3}}{5800}\,\mathrm{m} = 5{,}00 \cdot 10^{-7}\,\mathrm{m} = 500\,\mathrm{nm} \end{aligned}

Il Sole è una sfera, quindi la sua superficie emittente è $4\pi R_S^2$ . Per la legge di Stefan-Boltzmann la potenza emessa è il prodotto di $\sigma$ , della superficie e della quarta potenza della temperatura. Nel calcolo si ha $5800^4 \approx 1{,}13 \cdot 10^{15}\,\mathrm{K^4}$ e $4\pi R_S^2 \approx 6{,}09 \cdot 10^{18}\,\mathrm{m^2}$ .

La potenza emessa si distribuisce uniformemente su sfere sempre più grandi centrate nel Sole, e nello spazio non viene assorbita. Alla distanza $d$ la sfera ha area $4\pi d^2$ , perciò l’intensità è la potenza divisa per quest’area. Il risultato, circa $1{,}38\,\mathrm{kW/m^2}$ , coincide con il valore misurato dai satelliti fuori dall’atmosfera, $1{,}36\,\mathrm{kW/m^2}$ , entro il $2\%$ .

La legge di Wien dà il massimo a $500\,\mathrm{nm}$ , nel verde-azzurro, al centro dello spettro visibile.

Esercizio 3

La pelle di una persona ha temperatura $T_p = 306\,\mathrm{K}$ e superficie $A = 1{,}8\,\mathrm{m^2}$ ; le pareti della stanza sono a $T_a = 293\,\mathrm{K}$ . Considerando la pelle un corpo nero, calcola la potenza emessa dalla persona, la potenza che assorbe dalla radiazione delle pareti, la potenza netta persa per irraggiamento e l’energia persa in un’ora. Determina infine la lunghezza d’onda del massimo di emissione della pelle. Usa $\sigma = 5{,}67 \cdot 10^{-8}\,\mathrm{W/(m^2\cdot K^4)}$ e la costante di Wien $2{,}90 \cdot 10^{-3}\,\mathrm{m\cdot K}$ .

P_e = \sigma A T_p^4 , \qquad P_a = \sigma A T_a^4 , \qquad P_{\text{netta}} = \sigma A \left( T_p^4 - T_a^4 \right) , \qquad E = P_{\text{netta}}\, \Delta t

\begin{aligned} P_e &= 5{,}67 \cdot 10^{-8} \cdot 1{,}8 \cdot 306^4\,\mathrm{W} \approx 895\,\mathrm{W} \\[6pt] P_a &= 5{,}67 \cdot 10^{-8} \cdot 1{,}8 \cdot 293^4\,\mathrm{W} \approx 752\,\mathrm{W} \\[6pt] P_{\text{netta}} &= 895\,\mathrm{W} - 752\,\mathrm{W} \approx 143\,\mathrm{W} \\[6pt] E &= 143 \cdot 3600\,\mathrm{J} \approx 5{,}1 \cdot 10^{5}\,\mathrm{J} \\[6pt] \lambda_{\max} &= \frac{2{,}90 \cdot 10^{-3}}{306}\,\mathrm{m} \approx 9{,}5 \cdot 10^{-6}\,\mathrm{m} \end{aligned}

La pelle è trattata come un corpo nero alla temperatura $T_p$ , quindi emette la potenza data dalla legge di Stefan-Boltzmann con $T_p$ . Un corpo nero assorbe tutta la radiazione che riceve. Le pareti, alla temperatura $T_a$ , riempiono la stanza di radiazione termica, e la pelle ne assorbe la potenza $\sigma A T_a^4$ ; è la potenza che la pelle emetterebbe se fosse alla temperatura delle pareti, e in quel caso emissione e assorbimento si equilibrerebbero.

La potenza persa è la differenza tra quella emessa e quella assorbita, circa $143\,\mathrm{W}$ . In un’ora, cioè $3600\,\mathrm{s}$ , l’energia persa è il prodotto della potenza per il tempo, circa $5{,}1 \cdot 10^{5}\,\mathrm{J}$ . La potenza netta è dello stesso ordine della potenza prodotta dal metabolismo di una persona a riposo, circa $100\,\mathrm{W}$ ; l’abbigliamento riduce la temperatura della superficie esterna e quindi la perdita reale.

Per la legge di Wien il massimo di emissione della pelle è a circa $9{,}5\,\mu\mathrm{m}$ , nell’infrarosso; per questo la radiazione del corpo non si vede a occhio nudo e viene rivelata dalle termocamere.