Esercizi svolti · Scheda 2

Moti circolari in un campo magnetico uniforme

Teoria usata: Moto circolare in un campo magnetico uniforme Periodo e frequenza del moto circolare Verso di rotazione Raggio di una particella accelerata Particella accelerata tra due armature

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Esercizio 1

Un protone si muove con velocità $v = 3{,}0 \cdot 10^6\,\mathrm{m/s}$ in un campo magnetico uniforme $B = 0{,}50\,\mathrm{T}$ , entrante nel foglio e perpendicolare alla velocità. Calcola il raggio della traiettoria, il periodo e la frequenza del moto, e stabilisci il verso di rotazione. ( $e = 1{,}60 \cdot 10^{-19}\,\mathrm{C}$ , $m_p = 1{,}67 \cdot 10^{-27}\,\mathrm{kg}$ )

Il protone in un campo entrante nel foglio (

\otimes

) percorre la circonferenza in verso antiorario: nel punto più basso la forza di Lorentz è diretta verso il centro

C

e v B = m_p\,\frac{v^2}{r} \quad\Longrightarrow\quad r = \frac{m_p v}{e B} , \qquad T = \frac{2\pi r}{v} = \frac{2\pi m_p}{e B} , \qquad f = \frac{1}{T}

\begin{aligned} r &= \frac{1{,}67 \cdot 10^{-27} \cdot 3{,}0 \cdot 10^6}{1{,}60 \cdot 10^{-19} \cdot 0{,}50}\,\mathrm{m} \approx 6{,}3 \cdot 10^{-2}\,\mathrm{m} \\[6pt] T &= \frac{2\pi \cdot 1{,}67 \cdot 10^{-27}}{1{,}60 \cdot 10^{-19} \cdot 0{,}50}\,\mathrm{s} \approx 1{,}3 \cdot 10^{-7}\,\mathrm{s} \\[6pt] f &= \frac{1}{1{,}31 \cdot 10^{-7}\,\mathrm{s}} \approx 7{,}6 \cdot 10^6\,\mathrm{Hz} \end{aligned}

Sul protone agisce solo la forza di Lorentz, e la velocità è perpendicolare al campo. Per il moto circolare in un campo magnetico uniforme il protone percorre una circonferenza, e la forza di Lorentz, di modulo $evB$ , è la forza centripeta. Uguagliando $evB$ a $m_p\,\dfrac{v^2}{r}$ e dividendo per $v$ si ricava il raggio, circa $6{,}3\,\mathrm{cm}$ . Il periodo è il tempo per percorrere la circonferenza, $\dfrac{2\pi r}{v}$ ; sostituendo il raggio la velocità si semplifica, e la frequenza è il reciproco del periodo.

Per il verso si considera il punto più basso della traiettoria, dove la forza deve essere diretta verso l’alto, cioè verso il centro. Per la regola della mano destra, con il pollice verso destra lungo $\vec{v}$ e le altre dita dentro il foglio lungo $\vec{B}$ , il palmo è rivolto verso l’alto. La carica del protone è positiva, quindi la forza ha proprio questo verso se il protone nel punto più basso si muove verso destra. Il protone gira perciò in verso antiorario, come prevede l’osservazione sul verso di rotazione per una carica positiva in un campo entrante.

Esercizio 2

Un elettrone, inizialmente fermo, è accelerato dalla differenza di potenziale $\Delta V = 150\,\mathrm{V}$ ed entra in un campo magnetico uniforme $B = 1{,}2 \cdot 10^{-3}\,\mathrm{T}$ perpendicolare alla sua velocità. Calcola la velocità dell’elettrone, il raggio della traiettoria e il periodo del moto. ( $e = 1{,}60 \cdot 10^{-19}\,\mathrm{C}$ , $m_e = 9{,}11 \cdot 10^{-31}\,\mathrm{kg}$ )

e\,\Delta V = \frac{1}{2} m_e v^2 \quad\Longrightarrow\quad v = \sqrt{\frac{2 e\,\Delta V}{m_e}} , \qquad r = \frac{m_e v}{e B} , \qquad T = \frac{2\pi m_e}{e B}

\begin{aligned} v &= \sqrt{\frac{2 \cdot 1{,}60 \cdot 10^{-19} \cdot 150}{9{,}11 \cdot 10^{-31}}}\,\mathrm{m/s} \approx 7{,}26 \cdot 10^6\,\mathrm{m/s} \\[6pt] r &= \frac{9{,}11 \cdot 10^{-31} \cdot 7{,}26 \cdot 10^6}{1{,}60 \cdot 10^{-19} \cdot 1{,}2 \cdot 10^{-3}}\,\mathrm{m} \approx 3{,}4 \cdot 10^{-2}\,\mathrm{m} \\[6pt] T &= \frac{2\pi \cdot 9{,}11 \cdot 10^{-31}}{1{,}60 \cdot 10^{-19} \cdot 1{,}2 \cdot 10^{-3}}\,\mathrm{s} \approx 3{,}0 \cdot 10^{-8}\,\mathrm{s} \end{aligned}

L’esercizio ha due fasi. Nella prima l’elettrone è accelerato dal campo elettrico, che compie il lavoro $e\,\Delta V$ ; l’elettrone parte da fermo, quindi per il teorema dell’energia cinetica $e\,\Delta V = \dfrac{1}{2} m_e v^2$ , e si ottiene la formula della particella accelerata tra due armature. La velocità è circa il $2{,}4\,\%$ di $c$ , perciò la meccanica classica si applica.

Nella seconda fase la velocità è perpendicolare al campo magnetico uniforme, e per il moto circolare in un campo magnetico uniforme l’elettrone percorre una circonferenza di raggio $\dfrac{m_e v}{eB}$ , circa $3{,}4\,\mathrm{cm}$ . Lo stesso valore si ottiene con la formula del raggio di una particella accelerata, $r = \dfrac{1}{B}\sqrt{\dfrac{2 m_e\,\Delta V}{e}}$ , che non richiede il calcolo della velocità. Il periodo dipende solo dal rapporto tra massa e carica e dal campo, e vale circa $30\,\mathrm{ns}$ .

Esercizio 3

In un tubo da laboratorio, elettroni di energia cinetica $K = 2{,}0\,\mathrm{keV}$ percorrono una circonferenza di raggio $r = 5{,}0\,\mathrm{cm}$ in un campo magnetico uniforme perpendicolare alla loro velocità.

Determina il modulo del campo magnetico.
Calcola il tempo che un elettrone impiega a percorrere mezza circonferenza.
Spiega come cambiano il raggio e il tempo del punto precedente se l’energia cinetica degli elettroni raddoppia.

( $e = 1{,}60 \cdot 10^{-19}\,\mathrm{C}$ , $m_e = 9{,}11 \cdot 10^{-31}\,\mathrm{kg}$ )

K = 2{,}0 \cdot 10^3 \cdot 1{,}60 \cdot 10^{-19}\,\mathrm{J} = 3{,}2 \cdot 10^{-16}\,\mathrm{J} , \qquad m_e v = \sqrt{2 m_e K}

r = \frac{m_e v}{e B} = \frac{\sqrt{2 m_e K}}{e B} \quad\Longrightarrow\quad B = \frac{\sqrt{2 m_e K}}{e r}

B = \frac{\sqrt{2 \cdot 9{,}11 \cdot 10^{-31} \cdot 3{,}2 \cdot 10^{-16}}}{1{,}60 \cdot 10^{-19} \cdot 0{,}050}\,\mathrm{T} = \frac{2{,}41 \cdot 10^{-23}}{8{,}0 \cdot 10^{-21}}\,\mathrm{T} \approx 3{,}0 \cdot 10^{-3}\,\mathrm{T}

t = \frac{T}{2} = \frac{\pi m_e}{e B} = \frac{\pi \cdot 9{,}11 \cdot 10^{-31}}{1{,}60 \cdot 10^{-19} \cdot 3{,}02 \cdot 10^{-3}}\,\mathrm{s} \approx 5{,}9 \cdot 10^{-9}\,\mathrm{s}

K' = 2K \quad\Longrightarrow\quad r' = \frac{\sqrt{2 m_e \cdot 2K}}{e B} = \sqrt{2}\, r \approx 7{,}1\,\mathrm{cm} , \qquad t' = t

L’energia è data in kiloelettronvolt e va convertita in joule. Dalla formula $K = \dfrac{1}{2} m_e v^2$ si ricava $v = \sqrt{\dfrac{2K}{m_e}}$ , quindi la quantità di moto è $m_e v = \sqrt{2 m_e K}$ . Sostituendola nella formula del moto circolare in un campo magnetico uniforme e risolvendo rispetto a $B$ si trova un campo di circa $3{,}0\,\mathrm{mT}$ .

Mezza circonferenza richiede metà del periodo, e per il teorema sul periodo e la frequenza del moto circolare il periodo è $\dfrac{2\pi m_e}{eB}$ . Il tempo richiesto è perciò $\dfrac{\pi m_e}{eB}$ , circa $5{,}9\,\mathrm{ns}$ .

Il raggio è proporzionale a $\sqrt{K}$ , quindi raddoppiando l’energia il raggio aumenta del fattore $\sqrt{2}$ e diventa circa $7{,}1\,\mathrm{cm}$ . Il periodo non dipende dalla velocità, perciò il tempo per mezzo giro resta uguale, e l’elettrone più veloce percorre una semicirconferenza più lunga nello stesso tempo. La velocità degli elettroni da $2{,}0\,\mathrm{keV}$ è $\sqrt{\dfrac{2K}{m_e}} \approx 2{,}7 \cdot 10^7\,\mathrm{m/s}$ , circa il $9\,\%$ di $c$ , quindi la trattazione classica è ancora accettabile.

Esercizio 4

Un protone e una particella alfa, di carica $2e$ e massa $4 m_p$ , partono da fermi e sono accelerati dalla stessa differenza di potenziale $\Delta V = 2{,}0\,\mathrm{kV}$ ; poi entrano in un campo magnetico uniforme $B = 0{,}40\,\mathrm{T}$ , perpendicolare alla loro velocità.

Calcola il raggio della traiettoria di ciascuna particella e il rapporto tra i raggi.
Calcola il periodo di ciascuna particella.

( $e = 1{,}60 \cdot 10^{-19}\,\mathrm{C}$ , $m_p = 1{,}67 \cdot 10^{-27}\,\mathrm{kg}$ )

r = \frac{1}{B}\sqrt{\frac{2 m\,\Delta V}{|q|}} , \qquad T = \frac{2\pi m}{|q|\,B}

\frac{r_\alpha}{r_p} = \sqrt{\frac{m_\alpha}{m_p} \cdot \frac{e}{2e}} = \sqrt{\frac{4}{2}} = \sqrt{2} , \qquad \frac{T_\alpha}{T_p} = \frac{m_\alpha}{m_p} \cdot \frac{e}{2e} = 2

\begin{aligned} r_p &= \frac{1}{0{,}40}\sqrt{\frac{2 \cdot 1{,}67 \cdot 10^{-27} \cdot 2{,}0 \cdot 10^3}{1{,}60 \cdot 10^{-19}}}\,\mathrm{m} \approx 1{,}6 \cdot 10^{-2}\,\mathrm{m} , \qquad r_\alpha = \sqrt{2}\, r_p \approx 2{,}3 \cdot 10^{-2}\,\mathrm{m} \\[6pt] T_p &= \frac{2\pi \cdot 1{,}67 \cdot 10^{-27}}{1{,}60 \cdot 10^{-19} \cdot 0{,}40}\,\mathrm{s} \approx 1{,}6 \cdot 10^{-7}\,\mathrm{s} , \qquad T_\alpha = 2\, T_p \approx 3{,}3 \cdot 10^{-7}\,\mathrm{s} \end{aligned}

Entrambe le particelle sono accelerate da ferme e poi entrano nel campo con velocità perpendicolare a $\vec{B}$ , quindi per il raggio di una particella accelerata il raggio è $\dfrac{1}{B}\sqrt{\dfrac{2 m\,\Delta V}{|q|}}$ . Il campo e la tensione sono gli stessi, perciò il rapporto tra i raggi dipende solo dal rapporto $\dfrac{m}{|q|}$ sotto la radice. Per la particella alfa $\dfrac{m}{|q|}$ è doppio rispetto al protone, quindi il raggio è $\sqrt{2}$ volte maggiore, e vale circa $1{,}6\,\mathrm{cm}$ per il protone e $2{,}3\,\mathrm{cm}$ per la particella alfa.

Il periodo è proporzionale a $\dfrac{m}{|q|}$ senza radice, perciò la particella alfa impiega il doppio del tempo. Il risultato è coerente con le velocità. La particella alfa ha energia doppia, $4{,}0\,\mathrm{keV}$ , ma massa quadrupla, quindi è più lenta del fattore $\sqrt{2}$ , e percorre una circonferenza $\sqrt{2}$ volte più lunga; il tempo di un giro aumenta del fattore $\sqrt{2} \cdot \sqrt{2} = 2$ .