Esercizi svolti · Scheda 3

Transizioni tra livelli, fotoni emessi e ionizzazione

Teoria usata: Livelli di energia dell'atomo di idrogeno Fotoni emessi e assorbiti nelle transizioni Energia di ionizzazione Postulati di Bohr

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Esercizio 1

Un atomo di idrogeno passa dal livello $n = 4$ al livello $n = 2$ . Calcola l’energia del fotone emesso, in elettronvolt, la sua frequenza e la sua lunghezza d’onda. Usa $h = 6{,}63 \cdot 10^{-34}\,\mathrm{J\cdot s}$ , $c = 3{,}00 \cdot 10^{8}\,\mathrm{m/s}$ e $1\,\mathrm{eV} = 1{,}60 \cdot 10^{-19}\,\mathrm{J}$ .

La transizione da

n = 4

n = 2

nel diagramma dei livelli dell'idrogeno: il fotone emesso porta via la differenza di energia tra i due livelli

E_n = -\frac{13{,}6\,\mathrm{eV}}{n^2} , \qquad E_{\text{fotone}} = E_4 - E_2 , \qquad f = \frac{E_{\text{fotone}}}{h} , \qquad \lambda = \frac{c}{f}

E_4 = -\frac{13{,}6}{16}\,\mathrm{eV} = -0{,}850\,\mathrm{eV} , \qquad E_2 = -\frac{13{,}6}{4}\,\mathrm{eV} = -3{,}40\,\mathrm{eV}

\begin{aligned} E_{\text{fotone}} &= -0{,}850\,\mathrm{eV} - (-3{,}40\,\mathrm{eV}) = 2{,}55\,\mathrm{eV} \\[6pt] f &= \frac{2{,}55 \cdot 1{,}60 \cdot 10^{-19}}{6{,}63 \cdot 10^{-34}}\,\mathrm{Hz} \approx 6{,}15 \cdot 10^{14}\,\mathrm{Hz} \\[6pt] \lambda &= \frac{3{,}00 \cdot 10^{8}}{6{,}15 \cdot 10^{14}}\,\mathrm{m} \approx 4{,}88 \cdot 10^{-7}\,\mathrm{m} = 488\,\mathrm{nm} \end{aligned}

L’elettrone scende dal livello $n = 4$ al livello $n = 2$ , che ha energia più bassa, quindi l’atomo emette un fotone. Per il terzo postulato di Bohr l’energia del fotone è la differenza tra l’energia del livello di partenza e quella del livello di arrivo, cioè $2{,}55\,\mathrm{eV}$ . L’energia è positiva, come deve essere, perché $E_4$ è meno negativa di $E_2$ .

Per calcolare la frequenza si converte l’energia in joule moltiplicando per $1{,}60 \cdot 10^{-19}$ e si divide per $h$ . La lunghezza d’onda segue da $c = \lambda f$ e vale circa $488\,\mathrm{nm}$ , luce azzurra. Il risultato è in accordo, entro lo $0{,}4\%$ , con la riga $\mathrm{H}_\beta$ misurata a $486{,}1\,\mathrm{nm}$ ; la piccola differenza dipende dall’arrotondamento dei valori di $13{,}6\,\mathrm{eV}$ e delle costanti.

Esercizio 2

Un atomo di idrogeno nello stato fondamentale assorbe un fotone di lunghezza d’onda $\lambda = 102{,}8\,\mathrm{nm}$ . Determina il livello in cui si trova l’elettrone dopo l’assorbimento ed elenca le lunghezze d’onda dei fotoni che l’atomo può emettere tornando allo stato fondamentale. Usa $h = 6{,}63 \cdot 10^{-34}\,\mathrm{J\cdot s}$ , $c = 3{,}00 \cdot 10^{8}\,\mathrm{m/s}$ e $1\,\mathrm{eV} = 1{,}60 \cdot 10^{-19}\,\mathrm{J}$ .

E_{\text{fotone}} = \frac{h c}{\lambda} = \frac{6{,}63 \cdot 10^{-34} \cdot 3{,}00 \cdot 10^{8}}{1{,}028 \cdot 10^{-7} \cdot 1{,}60 \cdot 10^{-19}}\,\mathrm{eV} \approx 12{,}09\,\mathrm{eV}

E_f = E_1 + E_{\text{fotone}} = -13{,}6\,\mathrm{eV} + 12{,}09\,\mathrm{eV} = -1{,}51\,\mathrm{eV} , \qquad n^2 = \frac{13{,}6}{1{,}51} \approx 9 \quad \Longrightarrow \quad n = 3

\begin{aligned} 3 \to 1 : \quad & E = 12{,}09\,\mathrm{eV} , && \lambda = 102{,}8\,\mathrm{nm} \\[6pt] 3 \to 2 : \quad & E = -1{,}51\,\mathrm{eV} - (-3{,}40\,\mathrm{eV}) = 1{,}89\,\mathrm{eV} , && \lambda = \frac{h c}{E} \approx 658\,\mathrm{nm} \\[6pt] 2 \to 1 : \quad & E = -3{,}40\,\mathrm{eV} - (-13{,}6\,\mathrm{eV}) = 10{,}2\,\mathrm{eV} , && \lambda = \frac{h c}{E} \approx 122\,\mathrm{nm} \end{aligned}

Un atomo assorbe un fotone solo se l’energia del fotone è uguale alla differenza tra due livelli. Perciò l’energia del fotone, $12{,}09\,\mathrm{eV}$ , si somma all’energia dello stato fondamentale, e l’elettrone arriva al livello di energia $-1{,}51\,\mathrm{eV}$ . Dalla formula dei livelli di energia si ricava $n^2 = 9$ , quindi l’elettrone si trova sul livello $n = 3$ .

Dal livello $n = 3$ l’elettrone può tornare allo stato fondamentale in due modi. Può scendere direttamente a $n = 1$ , ed emettere un fotone uguale a quello assorbito, oppure può scendere prima a $n = 2$ e poi a $n = 1$ , ed emettere due fotoni. Le lunghezze d’onda possibili sono quindi tre: $102{,}8\,\mathrm{nm}$ e $122\,\mathrm{nm}$ , che appartengono alla serie di Lyman, e $658\,\mathrm{nm}$ , che è la riga rossa $\mathrm{H}_\alpha$ della serie di Balmer. Le energie dei due fotoni del secondo percorso, $1{,}89\,\mathrm{eV}$ e $10{,}2\,\mathrm{eV}$ , hanno per somma $12{,}09\,\mathrm{eV}$ , come richiede la conservazione dell’energia.

Esercizio 3

Un atomo di idrogeno si trova nel livello $n = 2$ .

Calcola l’energia di ionizzazione da questo livello e la lunghezza d’onda massima di un fotone in grado di ionizzare l’atomo.
L’atomo assorbe un fotone ultravioletto di lunghezza d’onda $300\,\mathrm{nm}$ . Calcola l’energia cinetica e la velocità dell’elettrone liberato, trascurando il rinculo del protone.

Usa $h = 6{,}63 \cdot 10^{-34}\,\mathrm{J\cdot s}$ , $c = 3{,}00 \cdot 10^{8}\,\mathrm{m/s}$ , $m_e = 9{,}11 \cdot 10^{-31}\,\mathrm{kg}$ e $1\,\mathrm{eV} = 1{,}60 \cdot 10^{-19}\,\mathrm{J}$ .

E_{\text{ion}} = 0 - E_2 = \frac{13{,}6\,\mathrm{eV}}{4} = 3{,}40\,\mathrm{eV}

\lambda_{\max} = \frac{h c}{E_{\text{ion}}} = \frac{6{,}63 \cdot 10^{-34} \cdot 3{,}00 \cdot 10^{8}}{3{,}40 \cdot 1{,}60 \cdot 10^{-19}}\,\mathrm{m} \approx 3{,}66 \cdot 10^{-7}\,\mathrm{m} = 366\,\mathrm{nm}

E_{\text{fotone}} = \frac{6{,}63 \cdot 10^{-34} \cdot 3{,}00 \cdot 10^{8}}{3{,}00 \cdot 10^{-7} \cdot 1{,}60 \cdot 10^{-19}}\,\mathrm{eV} \approx 4{,}14\,\mathrm{eV}

K = E_{\text{fotone}} - E_{\text{ion}} \approx 4{,}14\,\mathrm{eV} - 3{,}40\,\mathrm{eV} = 0{,}74\,\mathrm{eV}

v = \sqrt{\frac{2K}{m_e}} = \sqrt{\frac{2 \cdot 0{,}744 \cdot 1{,}60 \cdot 10^{-19}}{9{,}11 \cdot 10^{-31}}}\,\mathrm{m/s} \approx 5{,}1 \cdot 10^{5}\,\mathrm{m/s}

L’energia di ionizzazione dal livello $n = 2$ è l’energia che porta l’elettrone da $E_2 = -3{,}40\,\mathrm{eV}$ all’energia $0$ , quindi vale $3{,}40\,\mathrm{eV}$ . L’energia di un fotone è $\dfrac{h c}{\lambda}$ , e diminuisce quando $\lambda$ cresce. Perciò il fotone con la lunghezza d’onda massima in grado di ionizzare l’atomo è quello con energia uguale a $3{,}40\,\mathrm{eV}$ , e la sua lunghezza d’onda è $366\,\mathrm{nm}$ , nel vicino ultravioletto.

Il fotone di $300\,\mathrm{nm}$ ha lunghezza d’onda minore di $366\,\mathrm{nm}$ , quindi ha energia sufficiente, $4{,}14\,\mathrm{eV}$ , e ionizza l’atomo. Per la conservazione dell’energia la parte che supera l’energia di ionizzazione diventa energia cinetica dell’elettrone liberato, cioè $0{,}74\,\mathrm{eV}$ . Convertendo in joule e invertendo $K = \dfrac{1}{2} m_e v^2$ si ottiene una velocità di circa $5{,}1 \cdot 10^{5}\,\mathrm{m/s}$ , molto minore di $c$ , quindi la formula classica dell’energia cinetica si applica.