Esercizi svolti · Scheda 2

Orbite di Bohr dell'atomo di idrogeno

Teoria usata: Postulati di Bohr Raggi e velocità delle orbite di Bohr Livelli di energia dell'atomo di idrogeno

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Esercizio 1

Nell’atomo di idrogeno l’elettrone si trova sull’orbita di Bohr con $n = 1$ , di raggio $r_1 = 5{,}3 \cdot 10^{-11}\,\mathrm{m}$ . Calcola il modulo della forza di Coulomb tra elettrone e protone, l’accelerazione centripeta e la velocità dell’elettrone. Verifica poi che il prodotto $m_e v r_1$ è uguale a $\dfrac{h}{2\pi}$ . Usa $\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0} = 8{,}99 \cdot 10^{9}\,\mathrm{N\cdot m^2/C^2}$ , $e = 1{,}60 \cdot 10^{-19}\,\mathrm{C}$ , $m_e = 9{,}11 \cdot 10^{-31}\,\mathrm{kg}$ , $h = 6{,}63 \cdot 10^{-34}\,\mathrm{J\cdot s}$ .

L'elettrone percorre l'orbita di raggio

r_{1}

attorno al protone: la forza di Coulomb

F

è diretta verso il centro ed è perpendicolare alla velocità

v

F = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{e^2}{r_1^2} , \qquad a = \frac{F}{m_e} , \qquad a = \frac{v^2}{r_1} \quad \Longrightarrow \quad v = \sqrt{a\, r_1}

\begin{aligned} F &= 8{,}99 \cdot 10^{9} \cdot \frac{\left( 1{,}60 \cdot 10^{-19} \right)^2}{\left( 5{,}3 \cdot 10^{-11} \right)^2}\,\mathrm{N} \approx 8{,}2 \cdot 10^{-8}\,\mathrm{N} \\[6pt] a &= \frac{8{,}19 \cdot 10^{-8}}{9{,}11 \cdot 10^{-31}}\,\mathrm{m/s^2} \approx 9{,}0 \cdot 10^{22}\,\mathrm{m/s^2} \\[6pt] v &= \sqrt{8{,}99 \cdot 10^{22} \cdot 5{,}3 \cdot 10^{-11}}\,\mathrm{m/s} \approx 2{,}2 \cdot 10^{6}\,\mathrm{m/s} \end{aligned}

m_e v r_1 = 9{,}11 \cdot 10^{-31} \cdot 2{,}18 \cdot 10^{6} \cdot 5{,}3 \cdot 10^{-11}\,\mathrm{J\cdot s} \approx 1{,}05 \cdot 10^{-34}\,\mathrm{J\cdot s} , \qquad \frac{h}{2\pi} = \frac{6{,}63 \cdot 10^{-34}}{2\pi}\,\mathrm{J\cdot s} \approx 1{,}05 \cdot 10^{-34}\,\mathrm{J\cdot s}

Il protone e l’elettrone hanno cariche $+e$ e $-e$ , quindi si attraggono con la forza di Coulomb, di modulo $\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0} \dfrac{e^2}{r_1^2}$ , diretta dall’elettrone verso il protone. Nel modello di Bohr l’elettrone percorre un’orbita circolare con velocità di modulo costante, perciò la forza di Coulomb è la forza centripeta. Per il secondo principio della dinamica l’accelerazione è il rapporto tra la forza e la massa dell’elettrone, e vale circa $9{,}0 \cdot 10^{22}\,\mathrm{m/s^2}$ .

Nel moto circolare uniforme l’accelerazione centripeta è $\dfrac{v^2}{r_1}$ , quindi la velocità è la radice del prodotto $a\, r_1$ , circa $2{,}2 \cdot 10^{6}\,\mathrm{m/s}$ . Questo valore è meno dell’ $1\%$ della velocità della luce, perciò l’uso della meccanica classica è giustificato. Infine il prodotto $m_e v r_1$ coincide con $\dfrac{h}{2\pi}$ entro gli arrotondamenti, quindi l’orbita soddisfa la condizione del secondo postulato di Bohr con $n = 1$ .

Esercizio 2

Calcola il raggio, la velocità e il periodo di rivoluzione dell’elettrone sull’orbita di Bohr con $n = 3$ dell’atomo di idrogeno, sapendo che il raggio di Bohr è $r_1 = 5{,}3 \cdot 10^{-11}\,\mathrm{m}$ . Usa $m_e = 9{,}11 \cdot 10^{-31}\,\mathrm{kg}$ e $h = 6{,}63 \cdot 10^{-34}\,\mathrm{J\cdot s}$ .

r_n = n^2 r_1 , \qquad m_e v_n r_n = n \frac{h}{2\pi} \quad \Longrightarrow \quad v_n = \frac{n h}{2\pi m_e r_n} , \qquad T = \frac{2\pi r_n}{v_n}

\begin{aligned} r_3 &= 9 \cdot 5{,}3 \cdot 10^{-11}\,\mathrm{m} \approx 4{,}8 \cdot 10^{-10}\,\mathrm{m} \\[6pt] v_3 &= \frac{3 \cdot 6{,}63 \cdot 10^{-34}}{2\pi \cdot 9{,}11 \cdot 10^{-31} \cdot 4{,}77 \cdot 10^{-10}}\,\mathrm{m/s} \approx 7{,}3 \cdot 10^{5}\,\mathrm{m/s} \\[6pt] T &= \frac{2\pi \cdot 4{,}77 \cdot 10^{-10}}{7{,}29 \cdot 10^{5}}\,\mathrm{s} \approx 4{,}1 \cdot 10^{-15}\,\mathrm{s} \end{aligned}

Per il teorema sui raggi delle orbite di Bohr il raggio dell’orbita $n$ è $n^2 r_1$ , quindi con $n = 3$ il raggio è nove volte il raggio di Bohr. La velocità si ricava dalla condizione del secondo postulato, $m_e v_n r_n = n \dfrac{h}{2\pi}$ , dividendo entrambi i membri per $m_e r_n$ .

Il risultato è circa un terzo della velocità sull’orbita $n = 1$ , che vale $2{,}2 \cdot 10^{6}\,\mathrm{m/s}$ , in accordo con la relazione $v_n = \dfrac{v_1}{n}$ . Il periodo è il tempo per percorrere la circonferenza $2\pi r_3$ con velocità $v_3$ , e vale circa $4{,}1 \cdot 10^{-15}\,\mathrm{s}$ ; l’elettrone compie quindi circa $2{,}4 \cdot 10^{14}$ giri al secondo.

Esercizio 3

L’elettrone di un atomo di idrogeno ha energia totale $E = -0{,}544\,\mathrm{eV}$ . Determina il numero quantico $n$ della sua orbita, il raggio dell’orbita, l’energia cinetica e l’energia potenziale dell’elettrone, e la sua velocità. Usa $r_1 = 5{,}3 \cdot 10^{-11}\,\mathrm{m}$ , $m_e = 9{,}11 \cdot 10^{-31}\,\mathrm{kg}$ e $1\,\mathrm{eV} = 1{,}60 \cdot 10^{-19}\,\mathrm{J}$ .

E_n = -\frac{13{,}6\,\mathrm{eV}}{n^2} \quad \Longrightarrow \quad n^2 = \frac{13{,}6}{0{,}544} = 25 \quad \Longrightarrow \quad n = 5

r_5 = 25\, r_1 = 25 \cdot 5{,}3 \cdot 10^{-11}\,\mathrm{m} \approx 1{,}3 \cdot 10^{-9}\,\mathrm{m}

K = -E = 0{,}544\,\mathrm{eV} , \qquad U = 2E = -1{,}09\,\mathrm{eV}

K = \frac{1}{2} m_e v^2 \quad \Longrightarrow \quad v = \sqrt{\frac{2K}{m_e}} = \sqrt{\frac{2 \cdot 0{,}544 \cdot 1{,}60 \cdot 10^{-19}}{9{,}11 \cdot 10^{-31}}}\,\mathrm{m/s} \approx 4{,}37 \cdot 10^{5}\,\mathrm{m/s}

Per il teorema sui livelli di energia dell’idrogeno l’energia sull’orbita $n$ è $-\dfrac{13{,}6\,\mathrm{eV}}{n^2}$ . Uguagliando questa espressione all’energia data si ottiene $n^2 = 25$ , quindi l’elettrone si trova sull’orbita $n = 5$ , che ha raggio $25 r_1$ .

Nel modello di Bohr l’energia cinetica è l’opposto dell’energia totale e l’energia potenziale è il doppio dell’energia totale, come si ricava dalla legge del moto circolare con la forza di Coulomb. Perciò $K = 0{,}544\,\mathrm{eV}$ e $U = -1{,}09\,\mathrm{eV}$ , e la somma $K + U$ restituisce $E = -0{,}544\,\mathrm{eV}$ . Per calcolare la velocità si converte l’energia cinetica in joule e si inverte $K = \dfrac{1}{2} m_e v^2$ . Il risultato, $4{,}37 \cdot 10^{5}\,\mathrm{m/s}$ , è un quinto di $v_1 \approx 2{,}2 \cdot 10^{6}\,\mathrm{m/s}$ , come prevede la relazione $v_n = \dfrac{v_1}{n}$ .