Esercizi svolti · Scheda 3

Forze tra fili paralleli

Teoria usata: Forza tra due fili paralleli Legge di Biot-Savart Definizione dell'ampere

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Esercizio 1

I due conduttori di un cavo sono rettilinei e paralleli, a distanza $d = 2{,}0\,\mathrm{cm}$ , e sono percorsi in versi opposti dalle correnti $I_1 = 12\,\mathrm{A}$ e $I_2 = 5{,}0\,\mathrm{A}$ . Calcola la forza per unità di lunghezza tra i conduttori e la forza su un tratto lungo $\ell = 1{,}5\,\mathrm{m}$ , e stabilisci se la forza è attrattiva o repulsiva. ( $\mu_0 = 4\pi \cdot 10^{-7}\,\mathrm{T\cdot m/A}$ )

F = \frac{\mu_0 I_1 I_2\,\ell}{2\pi d} \quad\Longrightarrow\quad \frac{F}{\ell} = \frac{\mu_0 I_1 I_2}{2\pi d}

\frac{F}{\ell} = \frac{2 \cdot 10^{-7} \cdot 12 \cdot 5{,}0}{0{,}020}\,\mathrm{N/m} = 6{,}0 \cdot 10^{-4}\,\mathrm{N/m}

F = 6{,}0 \cdot 10^{-4} \cdot 1{,}5\,\mathrm{N} = 9{,}0 \cdot 10^{-4}\,\mathrm{N}

La distanza tra i conduttori è molto minore della loro lunghezza, quindi i conduttori si possono trattare come fili indefiniti e si applica la formula della forza tra due fili paralleli. Dividendo per $\ell$ si ottiene la forza per unità di lunghezza, che non dipende dalla lunghezza del tratto considerato. Moltiplicandola per $1{,}5\,\mathrm{m}$ si trova la forza sul tratto, $9{,}0 \cdot 10^{-4}\,\mathrm{N}$ .

Le correnti hanno versi opposti, perciò la forza è repulsiva, cioè ciascun conduttore è spinto lontano dall’altro. Le forze sui due conduttori hanno lo stesso modulo, anche se le correnti sono diverse, perché nella formula le due correnti compaiono come prodotto, e il terzo principio della dinamica richiede che le due forze siano uguali e opposte.

Esercizio 2

Tre fili rettilinei indefiniti, paralleli e nello stesso piano, sono equidistanti, con distanza $d = 5{,}0\,\mathrm{cm}$ tra fili vicini. Il filo $2$ è in mezzo. I fili $1$ e $2$ sono percorsi verso l’alto dalle correnti $I_1 = 10\,\mathrm{A}$ e $I_2 = 20\,\mathrm{A}$ , il filo $3$ verso il basso dalla corrente $I_3 = 10\,\mathrm{A}$ . Calcola la forza risultante per unità di lunghezza su ciascun filo. ( $\mu_0 = 4\pi \cdot 10^{-7}\,\mathrm{T\cdot m/A}$ )

f_{ij} = \frac{\mu_0 I_i I_j}{2\pi\,d_{ij}}

\begin{aligned} f_{12} &= \frac{2 \cdot 10^{-7} \cdot 10 \cdot 20}{0{,}050}\,\mathrm{N/m} = 8{,}0 \cdot 10^{-4}\,\mathrm{N/m} \quad \text{attrattiva} \\[6pt] f_{23} &= \frac{2 \cdot 10^{-7} \cdot 20 \cdot 10}{0{,}050}\,\mathrm{N/m} = 8{,}0 \cdot 10^{-4}\,\mathrm{N/m} \quad \text{repulsiva} \\[6pt] f_{13} &= \frac{2 \cdot 10^{-7} \cdot 10 \cdot 10}{0{,}10}\,\mathrm{N/m} = 2{,}0 \cdot 10^{-4}\,\mathrm{N/m} \quad \text{repulsiva} \end{aligned}

\begin{aligned} \frac{F_1}{\ell} &= f_{12} - f_{13} = 6{,}0 \cdot 10^{-4}\,\mathrm{N/m} \quad \text{verso destra} \\[6pt] \frac{F_2}{\ell} &= f_{12} + f_{23} = 1{,}6 \cdot 10^{-3}\,\mathrm{N/m} \quad \text{verso sinistra} \\[6pt] \frac{F_3}{\ell} &= f_{23} + f_{13} = 1{,}0 \cdot 10^{-3}\,\mathrm{N/m} \quad \text{verso destra} \end{aligned}

I fili

1

2

hanno correnti concordi, il filo

3

ha corrente opposta: le forze risultanti per unità di lunghezza sono

6, 0 \cdot 1 0^{- 4}

1, 6 \cdot 1 0^{- 3}

1, 0 \cdot 1 0^{- 3} N/m

, e la loro somma è nulla

Ogni coppia di fili interagisce secondo la formula della forza tra due fili paralleli, e la forza su ciascun filo è la somma delle forze dovute agli altri due. Con $f_{ij}$ si indica il modulo della forza per unità di lunghezza tra i fili $i$ e $j$ ; i fili $1$ e $3$ distano $2d = 10\,\mathrm{cm}$ . Le correnti $I_1$ e $I_2$ sono concordi, quindi i fili $1$ e $2$ si attraggono; la corrente $I_3$ è opposta alle altre due, quindi il filo $3$ respinge sia il filo $1$ sia il filo $2$ .

Il filo $1$ è attratto verso destra dal filo $2$ e respinto verso sinistra dal filo $3$ ; l’attrazione è maggiore, perciò la risultante è rivolta verso destra. Il filo $2$ è attratto verso sinistra dal filo $1$ e respinto verso sinistra dal filo $3$ , quindi le due forze si sommano. Il filo $3$ è respinto verso destra da entrambi.

Come controllo si contano positive le forze verso destra, e si ottiene $6{,}0 \cdot 10^{-4} - 1{,}6 \cdot 10^{-3} + 1{,}0 \cdot 10^{-3} = 0$ . La somma è nulla, come deve essere per le forze interne a un sistema, per il terzo principio della dinamica.

Esercizio 3

Un filo rettilineo lungo è fissato orizzontalmente su un tavolo. Sopra di esso, parallelo, si trova un secondo filo di lunghezza $\ell = 30\,\mathrm{cm}$ e massa $m = 0{,}10\,\mathrm{g}$ , che può muoversi solo in verticale lungo due guide senza attrito. I due fili sono percorsi dalla stessa corrente $I$ , in versi opposti.

Determina il valore di $I$ per cui il filo superiore resta in equilibrio a distanza $d = 4{,}0\,\mathrm{mm}$ dal filo inferiore.
Determina la distanza di equilibrio se la corrente si riduce a metà.

( $\mu_0 = 4\pi \cdot 10^{-7}\,\mathrm{T\cdot m/A}$ , $g = 9{,}81\,\mathrm{m/s^2}$ )

\frac{\mu_0 I^2\,\ell}{2\pi d} = m g \quad\Longrightarrow\quad I = \sqrt{\frac{2\pi d\,m g}{\mu_0\,\ell}}

I = \sqrt{\frac{2\pi \cdot 4{,}0 \cdot 10^{-3} \cdot 1{,}0 \cdot 10^{-4} \cdot 9{,}81}{4\pi \cdot 10^{-7} \cdot 0{,}30}}\,\mathrm{A} = \sqrt{\frac{4{,}0 \cdot 10^{-3} \cdot 9{,}81 \cdot 10^{-4}}{0{,}60 \cdot 10^{-7}}}\,\mathrm{A} \approx 8{,}1\,\mathrm{A}

d = \frac{\mu_0 I^2\,\ell}{2\pi\,m g} \quad\Longrightarrow\quad d' = \frac{\mu_0 \left( \dfrac{I}{2} \right)^2 \ell}{2\pi\,m g} = \frac{d}{4} = 1{,}0\,\mathrm{mm}

Sul filo superiore agiscono il peso, rivolto verso il basso, e la forza magnetica dovuta al filo inferiore. Le correnti hanno versi opposti, quindi per la formula della forza tra due fili paralleli la forza magnetica è repulsiva, cioè rivolta verso l’alto. Le guide senza attrito esercitano solo forze orizzontali, perciò all’equilibrio la forza magnetica è uguale al peso $m g$ . La distanza $d$ è molto minore della lunghezza del filo, quindi la formula dei fili indefiniti si può applicare. Si ricava $I^2$ e poi $I$ ; la massa va scritta in kilogrammi, $0{,}10\,\mathrm{g} = 1{,}0 \cdot 10^{-4}\,\mathrm{kg}$ . La corrente necessaria è $8{,}1\,\mathrm{A}$ .

Dall’equazione di equilibrio si ricava anche $d = \dfrac{\mu_0 I^2\,\ell}{2\pi\,m g}$ , quindi la distanza di equilibrio è proporzionale a $I^2$ . Se la corrente si dimezza, $I^2$ diventa un quarto, perciò la nuova distanza di equilibrio è un quarto della precedente, $1{,}0\,\mathrm{mm}$ . Il filo superiore quindi scende finché la forza repulsiva, che aumenta quando la distanza diminuisce, torna a uguagliare il peso.