Esercizi svolti · Scheda 1

Campi magnetici di fili rettilinei

Teoria usata: Legge di Biot-Savart Vettori perpendicolari al foglio

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Esercizio 1

Un filo rettilineo molto lungo è percorso dalla corrente $I = 8{,}0\,\mathrm{A}$ . Calcola il modulo del campo magnetico nei punti a distanza $r_1 = 4{,}0\,\mathrm{cm}$ e $r_2 = 12\,\mathrm{cm}$ dal filo. ( $\mu_0 = 4\pi \cdot 10^{-7}\,\mathrm{T\cdot m/A}$ )

B = \frac{\mu_0 I}{2\pi r}

\frac{\mu_0}{2\pi} = \frac{4\pi \cdot 10^{-7}}{2\pi}\,\mathrm{T\cdot m/A} = 2 \cdot 10^{-7}\,\mathrm{T\cdot m/A}

\begin{aligned} B_1 &= \frac{2 \cdot 10^{-7} \cdot 8{,}0}{0{,}040}\,\mathrm{T} = 4{,}0 \cdot 10^{-5}\,\mathrm{T} \\[6pt] B_2 &= \frac{2 \cdot 10^{-7} \cdot 8{,}0}{0{,}12}\,\mathrm{T} \approx 1{,}3 \cdot 10^{-5}\,\mathrm{T} \end{aligned}

Il filo è molto lungo rispetto alle distanze considerate, quindi si tratta come un filo indefinito e si applica la legge di Biot-Savart. Il quoziente $\dfrac{\mu_0}{2\pi}$ vale $2 \cdot 10^{-7}\,\mathrm{T\cdot m/A}$ , perché $\pi$ si semplifica, e compare in ogni calcolo del campo di un filo. Le distanze si scrivono in metri prima di sostituirle.

La seconda distanza è il triplo della prima, e il campo è inversamente proporzionale alla distanza, perciò $B_2$ è un terzo di $B_1$ , e infatti $\dfrac{4{,}0 \cdot 10^{-5}}{3} \approx 1{,}3 \cdot 10^{-5}\,\mathrm{T}$ . Entrambi i valori sono dell’ordine del campo magnetico terrestre.

Esercizio 2

Un cavo rettilineo lungo è percorso dalla corrente $I = 15\,\mathrm{A}$ .

Determina a quale distanza dal cavo il campo magnetico vale $1{,}0 \cdot 10^{-4}\,\mathrm{T}$ .
Determina quale corrente dovrebbe percorrere il cavo perché il campo valga $1{,}0 \cdot 10^{-4}\,\mathrm{T}$ alla distanza di $5{,}0\,\mathrm{cm}$ .

( $\mu_0 = 4\pi \cdot 10^{-7}\,\mathrm{T\cdot m/A}$ )

B = \frac{\mu_0 I}{2\pi r} \quad\Longrightarrow\quad r = \frac{\mu_0 I}{2\pi B} , \qquad I = \frac{2\pi r B}{\mu_0}

r = \frac{2 \cdot 10^{-7} \cdot 15}{1{,}0 \cdot 10^{-4}}\,\mathrm{m} = 3{,}0 \cdot 10^{-2}\,\mathrm{m} = 3{,}0\,\mathrm{cm}

I = \frac{2\pi \cdot 0{,}050 \cdot 1{,}0 \cdot 10^{-4}}{4\pi \cdot 10^{-7}}\,\mathrm{A} = \frac{0{,}050 \cdot 1{,}0 \cdot 10^{-4}}{2 \cdot 10^{-7}}\,\mathrm{A} = 25\,\mathrm{A}

Il cavo si tratta come un filo indefinito, quindi vale la legge di Biot-Savart. Nella prima domanda l’incognita è la distanza. Moltiplicando entrambi i membri per $r$ e dividendo per $B$ si ottiene $r = \dfrac{\mu_0 I}{2\pi B}$ . Il risultato è $3{,}0\,\mathrm{cm}$ .

Nella seconda domanda l’incognita è la corrente. Moltiplicando entrambi i membri per $2\pi r$ e dividendo per $\mu_0$ si ottiene $I = \dfrac{2\pi r B}{\mu_0}$ . Nel calcolo $2\pi$ diviso $4\pi$ dà $\dfrac{1}{2}$ , e la corrente risulta $25\,\mathrm{A}$ . Il risultato è coerente con la prima domanda, perché per avere lo stesso campo a una distanza maggiore, $5{,}0\,\mathrm{cm}$ invece di $3{,}0\,\mathrm{cm}$ , serve una corrente maggiore nello stesso rapporto, $15 \cdot \dfrac{5{,}0}{3{,}0}\,\mathrm{A} = 25\,\mathrm{A}$ .

Esercizio 3

Un filo rettilineo verticale, molto lungo, è percorso dalla corrente $I = 6{,}0\,\mathrm{A}$ diretta verso l’alto. Una piccola bussola, appoggiata su un tavolo orizzontale, si trova a nord del filo. La componente orizzontale del campo magnetico terrestre vale $B_T = 2{,}0 \cdot 10^{-5}\,\mathrm{T}$ ed è diretta verso nord.

Determina direzione e verso del campo del filo nella posizione della bussola.
Determina a quale distanza dal filo si trova la bussola, se il suo ago forma un angolo di $45^\circ$ con la direzione nord.

( $\mu_0 = 4\pi \cdot 10^{-7}\,\mathrm{T\cdot m/A}$ )

Vista dall'alto: il campo terrestre verso nord e il campo del filo verso ovest hanno lo stesso modulo, quindi l'ago si dispone lungo

B

, a

4 5^{\circ}

dal nord verso ovest

\tan 45^\circ = \frac{B_{\text{filo}}}{B_T} = 1 \quad\Longrightarrow\quad B_{\text{filo}} = B_T

\frac{\mu_0 I}{2\pi r} = B_T \quad\Longrightarrow\quad r = \frac{\mu_0 I}{2\pi B_T}

r = \frac{2 \cdot 10^{-7} \cdot 6{,}0}{2{,}0 \cdot 10^{-5}}\,\mathrm{m} = 6{,}0 \cdot 10^{-2}\,\mathrm{m} = 6{,}0\,\mathrm{cm}

Si guarda il tavolo dall’alto, con il nord verso l’alto della figura. La corrente sale verso chi guarda, quindi esce dal foglio, e per la regola della mano destra le linee di campo del filo sono circonferenze percorse in verso antiorario. Nel punto a nord del filo la tangente a una circonferenza antioraria è rivolta verso ovest. Il campo del filo nella posizione della bussola è perciò orizzontale e diretto verso ovest, perpendicolare al campo terrestre.

L’ago della bussola si dispone lungo il campo totale, che è la somma vettoriale del campo terrestre e del campo del filo. I due vettori sono perpendicolari, quindi l’angolo $\alpha$ tra l’ago e il nord soddisfa $\tan\alpha = \dfrac{B_{\text{filo}}}{B_T}$ . Poiché $\tan 45^\circ = 1$ , i due campi hanno lo stesso modulo. Ricavando $r$ dalla legge di Biot-Savart con $B_{\text{filo}} = B_T$ si trova che la bussola dista $6{,}0\,\mathrm{cm}$ dal filo. Più vicino al filo l’ago ruoterebbe di più di $45^\circ$ verso ovest, più lontano ruoterebbe di meno.